Cтраница 2
Напомним еще раз, что все предшествующие рассуждения применимы и к комплексным группам Ли: соответствующие алгебры Ли J. G), как легко видеть, являются алгебрами над полем С. [16]
Если 31 - ассоциативная алгебра характеристики р, то предшествующие рассуждения показывают, что 51 определяет ограниченную алгебру Ли, в которой заданы операции векторного пространства И, [ oft ] aft - fta и a pl ар. Гомоморфизм S ограниченной алгебры Ли в другую ограниченную алгебру Ли есть по определению отображение, удовлетворяющее условиям ( o - j - ft) 5 - - as - - bs, ( aaf - a. Идеалы и подалгебры определяются очевидным образом. [17]
В том, что эта программа работает правильно, нас должны были убедить все предшествующие рассуждения. Тот, кто не вполне в этом убежден, может проследить, какие значения команды р вырабатывает команда S2 1 при первом и последующих повторениях цикла, как эти значения связаны со значениями переменной i и каково состояние команды р при ее последнем выполнении перед выходом из цикла. [18]
Для упругой энергии растяжения и изгиба это предположение дает те выражения, которые мы использовали в главе II.1) Предшествующие рассуждения показывают, что в действительности это больше чем только упрощающее допущение. Любая приближенная формула, которой пользуются в общих случаях в качестве зависимости между изгибающим моментом и получающейся кривизной, должна удовлетворять условию минимума упругой энергии, потому что, как мы видели ( § 92), это условие выражает определенную физическую тенденцию упругих материалов. Наши формулы для - растяжения и изгиба удовлетворяют этому требованию. [19]
Конечно, нет сомнений в том, что в общем нормальные формулы галогенидов и окисей щелочных и щелочноземельных металлов и металлов группы алюминия представляют собой наиболее устойчивые из возможных соединений, и предшествующие рассуждения должны только доказать это положение. Они не включают рассмотрение многих возможных формул, в которых галоид или кислород имеет аномальную валентность, потому что определение энергии иона галоида или оксидного иона с аномальным зарядом представляет большие трудности. Причины, по которым ионы металлов обычно несут нормальный заряд в своих соединениях, можно обобщить следующим образом. Энергии решеток увеличиваются очень быстро с возрастанием заряда. Это приводит к большей устойчивости соединений, в которых металл имеет большую валентность. С другой стороны, работа, необходимая для преодоления потенциала ионизации, затрудняет получение иона с большим зарядом, и каждый следующий потенциал ионизации оказывается большим. Однако увеличение энергии решетки более чем уравновешивает дополнительный потенциал ионизации, потребный для увеличения заряда иона до тех пор, пока все валентные электроны не будут удалены. Но как только последний валентный электрон удален, работа, которую нужно затратить для удаления следующего электрона, становится настолько большой, что она значительно превосходит дополнительную энергию решетки. Это, конечно, только грубая схема, так как и другие факторы, как, например, энергии сублимации металла, играют роль, но в общем она верна. Если поэтому найдено, что соединение в действительности существует. [20]
Этот принцип в такой форме выведен для замкнутой системы частиц без спина, причем он остается справедливым и в том случае, если система находится в не зависящем от времени внешнем поле - все предшествующие рассуждения остаются справедливыми и в этом случае. В случае системы частиц, имеющих спиновые моменты, соотношение (82.7) уже не является справедливым. Можно, однако, доказать ( см., например, [35, 36]), что в этом случае принцип детального равновесия справедлив для вероятностей, усредненных по спинам начального и конечного состояний. [21]
Ниже будет показано, что приведенный пример не исчерпывает всей массы возможных механизмов обратной связи, однако его упоминание здесь необходимо для того, чтобы показать, что механизмы обратной связи фактически существуют и что поэтому все предшествующие рассуждения не были беспредметными. Кроме того, указание на важность этого звена в процессе возбуждения колебаний заставит читателя более внимательно следить за предположениями, которые будут делаться в ходе дальнейшего изложения и которые всякий раз в явном или неявном виде будут содержать какое-то допущение, эквивалентное введению обратной связи. [22]
Предшествующие рассуждения показывают, что она соответствует точке минимальной высоты и для симметрических эллипсоидальных возмущений вековым образом устойчива. [23]
Эту формулу, широко известную в практической электротехнике, мы могли бы написать непосредственно. Однако все предшествующие рассуждения о подобии электрических и тепловых процессов тем и очевидны, что известная электротехническая формула получена из решения уравнения теплопроводности. [24]
Было обнаружено, что три последующие строки в первом выпуске первого издания оказались неверными. Вместо доказательства необходимости были частично повторены предшествующие рассуждения. Ошибка была исправлена через несколько месяцев. [25]
Картина здесь вполне аналогична той, которая имелась, например, при определении понятия предела функции. Но если ранее Фихтенгольц или непосредственно прибегал к аксиоме выбора, или явно ссылался на предшествующие рассуждения, содержавшие ее, как-то выделяя двойственность соответствующих определений и указывая на их равносильность, то в § 60, в котором сформулированы приведенные определения, об этом ничего не говорится. Единственным указанием на то, что дело и здесь обстоит так же, является малозаметная ссылка на § 33 ( в квадратных скобках в приведенной цитате), в котором как имелось применение аксиомы выбора, так и говорилось о равносильности двух рассмотренных там определений. Так же он поступает с определением непрерывности функции нескольких переменных. Создается впечатление, что автор сознательно хотел замаскировать необходимость применения аксиомы выбора в данном случае. [26]
Атомы и группы атомов, как мы уже знаем, в принципе свободно вращаются вокруг простых связей. В общем любой молекуле можно придать такую конформацию, в которой все элементы симметрии будут отсутствовать, и все вещества, таким образом, должны быть оптически активными. Предшествующие рассуждения ясно показали, что вещества могут быть оптически активны, только если молекулы не могут при вращении - принять положение, в котором они будут иметь зеркальную симметрию. Очевидно, причина лежит в том, что свободное вращение обусловливает более или менее легкий переход от одной формы к другой, а наличие симметричной формы, пусть даже одной из многих, создает такое статистическое распределение индивидуальных форм, что возможность хираль-ности полностью исключается. Следовательно, приведенная классификация относится к симметричной конформации молекулы, даже если это не единственная конформация и даже если она, как правило, не самая распространенная. [27]
А на подходящую подстановку справа, мы получим подстановку из идеала / того же ранга, что и В. Повторяя предшествующие рассуждения, получим, что В е G /, а это и требовалось. [28]
Более того, тот же Леви [2, 3], выступивший в 1906 г. с критикой рассуждений Лебега при доказательстве некоторых из приведенных теорем, а ранее критиковавший доказательства Берн-штейна за их цермеловость, странным образом не только не обратил внимания на цермеловость лебеговских доказательств, но и сам пользовался цепями интервалов. Лебег, принявший участие в упомянутой полемике, защищая и кое в чем уточняя свои предшествующие рассуждения [7, 8], тоже еще не замечает, что построение применяемых им и Леви цепей совершается с использованием аксиомы выбора. [29]
Это приводит нас к имеющей фундаментальное значение для теории познания идее изоморфизма. Можно сказать, что изоморфные области вещей обладают одинаковой структурой. Так, например, посредством метода координат Декарта пространство изоморфно отображается на область операций линейной алгебры. Предшествующие рассуждения приводят нас ко взгляду на систему аксиом как на чистую логическую форму возможных наук. Реальное содержание какая-нибудь интерпретация приобретает тогда, когда названиям основных понятий приписывается определенное значение, в силу чего и аксиомы становятся истинными предложениями. Может показаться целесообразным называть систему аксиом полной в том случае, если в силу требования справедливости аксиом оказывается однозначно определенным смысл входящих в их состав основных понятий. Но этот идеал недостижим, ибо очевидно, что всякая, имеющая реальное содержание интерпретация, получающаяся из данной в результате изоморфного отображения, сама является в свою очередь таким же изоморфным отображением. В итоге мы получаем следующую окончательную формулировку: система аксиом является полной, если любые две имеющие реальное содержание ее интерпретации необходимым образом изоморфны. Можно показать, что полнота установленных Гильбертом аксиом геометрии в этом смысле является обеспеченной. [30]