Cтраница 1
Если малые знаменатели патологически малы, то нормализующие ряды, как правило, расходятся. [1]
Знаменитая-проблема малых знаменателей возникла при исследовании дифференциальных уравнений, описывающих движение в планетных и спутниковых системах в ньютоновских гравитационных полях. Впервые малые знаменатели обнаружил Лаплас в 1784 г., изучая движение 10пи - тера и Сатурна вокруг Солнца. [2]
Исторически проблема малых знаменателей возникла при изучении движений в задаче Солпце - Юпитер - Сатурн, хотя астрономы относят ныне эту задачу к задачам с не очень острым резонансом. Представим себе па миг, что средние движения Сатурна и Юпитера равны 4 119 843122, ге ( 20) 299 128361 соответственно. [3]
Ряд (14.8) содержит малые знаменатели 1 - exp ( i2nkh) и его сходимость не очевидна. [4]
Второе направление в проблеме малых знаменателей - математическое ( или, если угодно, теоретическое), и состоит оно в качественном анализе решений дифференциальных уравнений движения небесных тел и в построении таких рядов, которые сходятся на неограниченном интервале времени. Из аналитических выражений для возмущений, построенных с помощью классической теории, с достаточной очевидностью следует, что классические разложения пригодны на некотором конечном промежутке времени, вне которого они не соответствуют реальным движениям планет. [5]
Это условие обусловливает появление малых знаменателей вида ( а - К) в, выражениях для и vs и больших периодов 71 2л ( о) - Я) 1 в тригонометрических функциях. Если у 1, то такие явления не наблюдаются. [6]
Достаточно подробное изложение истории проблемы малых знаменателей дает возможность читателю почувствовать ту глубокую органическую связь между теорией точных решений дифференциальных уравнений и асимптотическими методами, дающими пх приближенные решения. [7]
Крылова - Боголюбова не будут содержать малых знаменателей. Таким образом, строится асимптотическая теория малых, а не больших возмущений. [8]
Оказывается, с вероятностью 1 все эти малые знаменатели допускают степенную по k оценку снизу. [9]
В предыдущем параграфе изложена краткая история проблемы малых знаменателей, из которой следует, что они возникла при изучении движения Юпитера и Сатурна вокруг Солнца. Если предположить, что гипотетическая солнечная система состоит только из трех небесных тел ( Солнца, Юпитера и Сатурна), то математической моделью такой нланетной системы являются уравнения проблемы трех тел, а точнее двухпланетного варианта этой проблемы. В проблеме трех тел речь идет об изучении движения каждого из трех тел Р0, Р, Р2 с произвольными массами т0, м4, те2, взаимно притягивающих друг друга в соответствии с ньютоновым законом всемирного тяготения. [10]
Многие задачи математики и математической физики, в которых встречаются малые знаменатели, требуют исследования диофантовых приближений на подмногообразиях пространства Еп. [11]
Расходимость ряда в (6.24) приводит нас к хорошо известной проблеме малых знаменателей. Видно, что при рациональном отношении частот систему нельзя проинтегрировать с помощью теории возмущений. Причина этого - сильные резонансы в системе. [12]
Неравенство ( 16) ограничивает снизу возможную скорость убывания абсолютных величин малых знаменателей Яр - 1: при р - - оо число IP - 11 может, вообще говоря, стать сколь угодно малым, по оно все же больше числа ( 2p) - v, которое тоже становится сколь угодно малым. [13]
Мы представляем здесь новые геометрические методы, которые оказались эффективными при исследования проблем малых знаменателей в голоморфной динамике. [14]
В области Зигеля при приведении к нормальной форме возникают трудности, связанные с малыми знаменателями. В то же время топологическая картина может быть простой. Например, обыкновенное седло устроено топологически одинаково как при рациональном, так и при иррациональном отношении собственных чисел. Такое же явление бывает и в области Пуанкаре: резонансы могут не влиять на топологию фазового портрета. [15]