Cтраница 4
Иметь надежную общую основу для многочисленных математических дисциплин нужно было не только для их сведения в единую систему, но п для решения многих проблем, например в теории множеств и теории функций. Наряду с многими конкретно поставленными вопросами ( примером последних может служить вошедшая в знаменитый список Гильберта ( седьмая) проблема определения арифметической природы чисел вида as, когда a - алгебраическое число1), ji - алгебраическая иррациональность) девятнадцатый век завещал своему преемнику немало проблем, имевших первостепенное значение для развития отдельных математических дисциплин. Таковы многие проблемы Гильберта, таковы, например, проблема собственных значений и собственных функций в классических краевых задачах математической физики ( она проходит через все девятнадцатое столетие) п проблема малых знаменателей в небесной механике, восходящая еще к восемнадцатому веку. Именно такая переходная тематика в значительной мере определяла направление исследований в те пятнадцать - двадцать лет, которые образуют первый перпод в истории математики XX века. [46]
Модельные задачи, описанные в гл. Настоящие трудности при решении задач, описывающих колебательные процессы, начинаются там, где имеется но меньшей мере две основные частоты. Многие трудности возникают, как мы видели в гл. III, из-за появления малых знаменателей при интегрировании уравнений в частных производных для замены переменных Крылова - Боголюбова. [47]
Теорема Пуанкаре мо / кет быть доказана методом мажорант ( таково было первоначальное доказательство) или методом сжатых отображений. Величины ( л, k) - hj, ( k, j) e /, появляются в качестве знаменателей в выражениях для тейлоровских коэффициентов нормализующих рядов. Если К принадлежит области Пуанкаре, эти величины отделены от нуля; это обусловливает относительную простоту доказательства теоремы Пуанкаре. Если К принадлежит области Зигеля, среди знаменателей ( К, k) - Kj появляются сколь угодно малые. Первоначальное доказательство теоремы Зигеля использовало то обстоятельство, что малые знаменатели встречаются относительно редко. Тем же методом доказывается теорема Брюно. [48]
Исследования Пуанкаре [12] показали, что ряды вида ( 167) т хотя и расходятся, тем не менее весьма полезны в небесной механике, так как опи также являются асимптотическими. Именно асимптотический характер рядов ( 167) дает возможность строить хорошие приближенные решения уравнений ( 151), если они описывают слабо возмущенную задачу. В случае сильно возмущенных задач проявляется основной дефект асимптотических рядов ( 167), заключающийся в том, что они никак не учитывают особенности самих задач. В порождающем решении ( 155) отсутствует в каком-либо виде эффект больших возмущений, поэтому оно плохо описывает сильно возмущенную задачу. Иными словами, возмущения порождающего решения будут содержать члены с малыми знаменателями. [49]
Естественно, может возникнуть вопрос, а почему бы для описания газа не воспользоваться стандартным аппаратом квантовой механики. Поскольку в разреженном газе взаимодействие атомов мало, то наиболее подходящей кажется теория возмущений. Они показали, что прямое применение теории возмущений приводит к расходимостям. Связано это с тем, что классический газ представляет собой типичный пример Большой Системы Пуанкаре, обладающей внутренней стохастичностью. Соответственно, в квантовой теории возникает парадокс саморассеяний, аналогичный проблеме малых знаменателей в классической теории. [50]