Cтраница 1
Вероятность данного состояния выражают числом способов, которым это состояние может быть осуществлено. [1]
Понятие вероятности данного состояния, как только оно выставлено, заставляет нас сделать следующее замечание. Никогда нельзя говорить о вероятности определенного состояния, если мы не вообразим себе возможности более или менее большого числа других состояний, отличных от первого. [2]
В левой части каждого уравнения стоит вероятность данного состояния р, умноженная на суммарную интенсивность всех потоков, ведущих из данного состояния, а в правой - сумма всех потоков, входящих в это состояние, умноженных на вероятности соответствующих состояний. [3]
Иными словами, теорема Больцмана утверждает, что вероятность данного состояния молекулы тем больше, чем меньше энергия этого состояния. [4]
Формула (7.2) выражает основное свойство дискретной марковской цепи: вероятность данного состояния в г-шаговом процессе равна сумме произведений вероятностей переходов на вероятности тех состояний, достижимых на предыдущем шаге, из которых возможен переход в данное состояние. [5]
Квадрат модуля волновой ф-ции в атом случае равен плотности вероятности данного состояния. [6]
Таким образом, энтропия изолированной системы в каком-либо состоянии пропорциональна натуральному логарифму вероятности данного состояния. Так как природа стремится от состояний менее вероятных к состояниям более вероятным, энтропия изолированной системы уменьшаться не может. Эти два утверждения являются, по сути дела, статистической и феноменологической формулировками второго начала термодинамики. Различие между ними состоит в следующем. Статистическая формулировка утверждает, что в изолированной системе процессы, сопровождающиеся возрастанием энтропии, являются наиболее вероятными ( но не являются неизбежными), в то время как феноменологическая формулировка считает такие процессы единственно возможными. [7]
Таким образом, энтропия изолированной системы в каком-либо состоянии пропорциональна натуральному логарифму вероятности данного состояния. Так как природа стремится от состояний менее вероятных к состояниям более вероятным, энтропия изолированной системы уменьшаться не может. Эти два утверждения являются, по сути дела, статистической и феноменологической формулировками второго начала термодинамики. Различие между ними состоит в следующем. Статистическая формулировка утверждает, что в изолированной системе процессы, сопровождающиеся возрастанием энтропии, являются наиболее вероятными ( но не являются неизбежными), в то время как феноменологическая формулировка считает такие процессы единственно возможными. [8]
Вероятность Ф данного состояния системы связана с энтропией S системы; чем больше вероятность данного состояния, тем больше энтропия. Согласно уравнению Боль-цмана S k In Ф ( 1), где к - константа Больцмана. Как указывалось, растянутое состояние является менее вероятным, поэтому при растяжении энтропия системы уменьшается. Напротив, процесс свертывания является переходом в более вероятное состояние, он сопровождается увеличением энтропии и поэтому происходит самопроизвольно в процессе теплового движения. [9]
Исходным положением статистики жидкостей является каноническое распределение Гиббса, которое дает общее выражение для вероятности данного состояния ( формула ( 4 7) на стр. [10]
Мы видели, что, делая определенную гипотезу - весьма общего характера - об определении вероятности данного состояния сложной системы, можно распространить применимость статистических методов на системы, части которых не повинуются законам классической механики. [11]
Вследствие этого каждое из состояний системы повторяется ( в более или менее сходной форме) с частотой тем большей, чем больше вероятность данного состояния. Подавляющее время системы находится в равновесном Состоянии, отвечающем максимальному значению энтропии системы; отклонившись от этого состояния, система возвращается к нему, причем если наблюдать систему достаточно долго, то случаи увеличения и уменьшения энтропии будут встречаться одинаково часто. При этом время повторяемости какого-либо отклонения системы от равновесного состояния тем больше, чем меньше вероятность данного неравновесного состояния, и быстро возрастает с увеличением размеров системы. Для обычных условий оно настолько велико, что требуются практически недостижимые промежутки времени для того, чтобы наблюдать обращение какого-либо из макроскопических процессов. [12]
Из приведенного примера видно, что каждое состояние может быть охарактеризовано определенной вероятностью, причем равновесию отвечает наибольшая и, следовательно, вероятность данного состояния является тем критерием, который определяет направление процесса и позволяет найти равновесие. [13]
Вследствие этого каждое из состояний системы повторяется ( в более или менее сходной форме) с частотой, тем большей, чем больше вероятность данного состояния. Подавляющее время система находится в равновесном состоянии, отвечающем максимальному значению энтропии системы; отклонившись от этого состояния, система вновь возвращается к нему, причем если наблюдать систему достаточно долго, то случаи увеличения и уменьшения энтропии будут встречаться одинаково часто. При этом время повторяемости какого-либо отклонения системы от равновесного состояния тем больше, чем меньше вероятность данного Неравновесного состояния, и быстро возрастает с увеличением размеров системы. Для обычных условий оно настолько велико, что требуются практически недостижимые промежутки времени для того, чтобы наблюдать обращение какого-либо из макроскопических процессов. [14]
В таком случае приведенное уравнение ( называемое формулой Больцмана) может быть сформулировано так: энтропия изолированной системы, находящейся как в равновесном, так и в неравновесном состоянии, пропорциональна натуральному логарифму вероятности данного состояния. [15]