Регуляризация - задача
Cтраница 2
Оценивание параметров уравнения регрессии в случае сильной мультиколлинеарности основано на различных методах регуляризации задачи - модификациях регрессии на главные компоненты, гребневых и редуцированных оценках. Со статистической точки зрения получаемые оценки являются, в отличие от мнк-оценок, смещенными. Однако они обладают рядом оптимальных свойств, в частности обеспечивают лучшие прогностические свойства оцененного уравнения регрессии на объектах, не вошедших в обучающую выборку. [16]
Следовательно, если для какого-либо семейства доказаны соотношения (4.112), то тем самым установлено и (4.7), а значит, и возможность регуляризации задачи 1 при помощи построенного семейства. [17]
Правда, как правило, компоненты с малыми значениями собственных чисел оказываются одновременно и слабо коррелированными с у и также отбрасываются, так что отбор существенных главных компонент по этим критериям автоматически приводит и к регуляризации задачи. [18]
Очень часто с особыми точками связаны автомодельные постановки задач, в которых сокращается число независимых переменных путем их группирования в определенные комбинации. Регуляризация задачи при помощи введения некоторых фиктивных границ, например, окружающих особые точки, требует постановки на этих границах нестандартных условий, совместимых с предписанной автомодельностью, но способных породить некорректность задачи. [19]
Термин обжатие оболочки в зоне контакта требует разъяснения. Однако обычно для регуляризации задачи вводят фиктивный упругий слой между поверхностями штампа и оболочки. Если такой слой есть в конструкции, математическая постановка задачи адекватна реальной, но введение фиктивного слоя создает впечатление о несоответствии математической модели реальной задаче. [20]
Важно отметить, что, добавляя к / поле ev со сколь угодно малым е, можно получить при соответствующем выборе знака е задачу, удовлетворяющую условию Лопатинского, если на Г нет подмногообразий первого и второго классов. Если же имеется хоть одно такое подмногообразие, то никакая гладкая регуляризация задачи невозможна. [21]
Мы рассмотрели лишь несколько основных причин проявления неединственности решения в задаче оценки параметров, с которыми наиболее часто встречаются при решении обратных задач. Отметим, что иногда удается получить экспериментальную дополнительную информацию для регуляризации задачи. Например, в (3.55) достаточно определить максимальную концентрацию промежуточного компонента А ах, чтобы появилась возможность оценить обе неизвестные константы. [22]
Во внутреннем интеграле интегрирование с обобщенной функцией ( Ир) выполняется путем обхода особенности в нуле. Радиус обхода 1 ] 10 - 4г0, где с - радиус окружности, описывающей объект, подбирался в процессе численного эксперимента. Далее регуляризация задачи производится с помощью сглаживающих кубических сплайнов, согласованных с уровнем погрешности экспериментальных данных ( подробнее см. [14], гл. [23]
Действительно плодотворным является иной подход, последовательно учитывающий информационные аспекты рассматриваемой обратной задачи. Характер таких информационных фрагментов и способы их включения в постановку задачи могут быть весьма разнообразными. Процедуру их использования в широком смысле слова называют регуляризацией задачи. Так, сравнительно неплохие результаты, которые экспериментаторы время от времени получали на базе тех или иных стихийных методов, объяснялись регуляризацией, хотя часто и не вполне осознанной. Принципы отбора моделей и построения функционалов сложности, введенные А. Н. Тихоновым - тоже регуляризация, только последовательная, ясно формулируемая и учитывающая особенности реального эксперимента. Что же касается нередко встречающихся до сих пор попыток решить некорректную задачу за счет чисто математических ухищрений, без каких-либо дополнительных априорных данных, то они эквивалентны деятельности по созданию perpetuum mobile, производящего информацию из ничего. [24]
 |
Профили скорости течений без точек перегиба. а - Vo 0, б - Vo 0. i, 2 - границы течения.| Профили скорости течений с точками перегиба. а - Vo 0, б - Vo 0. жо - точка перегиба. [25] |
Поэтому на его основе следовало бы сделать вывод о том, что в течениях с профилем скорости без точек перегиба не могут существовать ни те, ни другие. Использование же (10.6) для случая нейтральных колебаний ( Imu; 0) требует пояснений, поскольку знак правой части этого соотношения зависит от того - рассматриваются ли такие колебания как предельный случай нарастающих или затухающих. В этом случае выбор между двумя возможностями производится при учете столкновений, что необходимо для регуляризации задачи. [26]
Совершенно очевидно, что это явление характерно для приложений. Успешным решением большинства из рассмотренных задач мы обязаны как раз их вырожденности. Таким образом, то самое зло, каким грозит вырожденность при применении общих методов, заставляя прибегать к громоздкой приближенной регуляризации задач, оборачивается большим благом для специальных методов, опирающихся на вырожденность. Чем сильнее вырождена задача, тем существеннее понижение порядка. [27]
В работах отмеченных выше авторов исследован широкий круг условно корректных задач. Мы рассмотрим только некоторые из них. Параграф 7.1 вводит в круг основных понятий общей теории условно корректных задач. В параграфах 7.2 - 7.3 рассмотрена регуляризация задачи определения входных ( начальных) данных эволюционных уравнений. В оставшейся части главы методами теории возмущений исследуются задачи восстановления структуры линейных и нелинейных операторов. [28]
Обратим внимание, что все без исключения рассмотренные содержательные задачи из различных областей - механики полета, физики, промышленных технологий, математической экономики и экологии - исследованные автором или известные ему из многих работ [4-5], [20-28], оказываются вырожденными в нашем понимании, т.е. такими, которые в числе основных связей - дифференциальных или дискретных цепочек - содержат пассивные. Совершенно очевидно, что это явление характерно для приложений. Успешным решением большинства из рассмотренных задач мы обязаны как раз их вырожденности. Таким образом, то самое зло, каким грозит вырожденность при применении общих методов, заставляя прибегать к громоздкой приближенной регуляризации задач, оборачивается большим благом для специальных методов, опирающихся на вырожденность. Это благо состоит в возможности исключения имеющихся пассивных связей, что ведет к понижению порядка системы связей, т.е. к упрощению задачи. Чем сильнее вырождена задача, тем сз ществен-нее понижение порядка. [29]
Отметим, что главная часть УР в работах по итерационным методам могла быть построена непосредственно по виду диаграмм Ньютона коэффициентов проекции QF. Не ясно было, как надо выбирать параметр униформи-зации ветвей в общем случае, как строить параметрические семейства решений, проводить вычисления в окрестности точек ветвления с учетом погрешностей вычислений. В работах [20, 33-35, 50, 69] была предложена теория регуляризации задач теории ветвления. Эта теория в идейном плане тесно связана с теорией регуляризации некорректных задач Тихонова-Лаврентьева - Иванова. Показано, что вместо исходного уравнения следует решать вспомогательное ( регуляризующее) уравнение, решения которого равномерно относительно параметра аппроксимируют ветви точного решения, которые могут быть найдены приближенно с любой степенью точности. В этих работах указан и способ построения таких уравнений. Этот регуляризационный подход основан на специальном возмущении уравнения и использует дополнительную информацию об искомой ветви, например, структуру главных членов уравнения разветвления. [30]
Страницы: 1 2