Cтраница 2
В этом параграфе, руководствуясь табл. 13.1, мы проследим вывод вариационных принципов, начиная с принципа минимума потенциальной энергии, последовательно выводя модифицированный принцип потенциальной энергии, модифицированный обобщенный принцип и заканчивая модифицированным принципом Хеллингера - Рейсснера. [16]
Как и в разд. Рейсснера эти соотношения выполняются в интегральном по толщине пластины смысле. Закон изменения перемещений по толщине пластины, полученный интегрированием соотношений (4.17), будет иметь вид (4.18), (4.19), где и, v, w - перемещения срединной плоскости. В рамках данного раздела и в дальнейшем при использовании уточненной теории через и, v, w будем обозначать обобщенные перемещения, смысл которых будет ясен ниже. [17]
Рейсснера, если учесть поверхно - стные усилия q и q % и, следовательно, мембранные усилия Тх, Ту, Тху. Рейсснера, в которых не учитываются мембранные усилия - ( см., например, С. П. Тимошенко [30]), и, следовательно, отсутствуют соотношения (4.23), а. Смысл усредненных перемещений w и углов поворота фж, ф остается тем же. [18]
Одновременно продолжались попытки построить теорию оболочек, свобод - 257 ную от гипотез Кирхгофа - Лява. Рейсснера 3 и Н. А. Кильчевского 4; последний предложил несколько методов развития нелявовской теории оболочек. [19]
Функционал Рейсснера (15.116) получен из функционала Лагранжа, в котором отсутствует член, содержащий интеграл по Su, поскольку функционал Лагранжа варьируется лишь по перемещениям, а вариация перемещений на Sa, где они заданы, равна нулю, вследствие чего указанный член в / х ( и) не был существенным и был опущен. В принципе же Рейсснера варьирование выполняется и по напряжениям, поэтому на Su варьирование по а может быть выполнено. В приведенном выше функционале Рейсснера на S, варьирование по а не производилось, поскольку член с интегралом по Su не был использован. Если бы этот член был включен в функционал, то по о следовало бы варьировать и его. [20]
В этом случае рассматриваются задачи на кручение и осесимметрич-ные, а также плоское напряженное состояние и плоская деформация. Теория пластин Кирхгофа или Рейсснера работает тоже хорошо, но она более сложная, так же как и любая из двумерных теорий оболочек. [21]
Эти вариационные и минимальные принципы имеют большое значение прежде всего потому, что они лежат в основе важных приближенных и численных методов решения. К ним относятся, например, принцип Хеллинджера - Рейсснера, Ху - Вашицу, Прагера - Буфлера, которые могут применяться как для линейно -, так и нелинейно-упругих задач. С другой стороны, из обобщенных принципов получаются в качестве частных случаев классические минимальные принципы теории упругости, обсуждаемые в последующих разделах. [22]
Авторы работы [250] сопрягают аналитические решения уравнений равновесия оболочек в зоне контакта и вне ее, получают систему уравнений относительно произвольных постоянных, находят осевую координату границы зоны контакта, решая систему трансцендентных уравнений. Обжатие в обеих работах не учтено, использованы теории Кирхгофа - Лява, Тимошенко, Рейсснера. [23]
Скажем несколько слов о принципе стационарности дополнительной энергии в нелинейной задаче теории упругости, а именно таком принципе, в котором как функционал, так и дополнительные условия выражаются только через напряжения. Вспомним, что в линейной теории упругости принцип минимума дополнительной энергии выводится из принципа Хеллингера - Рейсснера. [24]
Кроме того, мы приведем смешанные вариационные принципы, являющиеся обобщением канонических вариационных принципов типа принципа Хеллингера - Рейсснера. [25]
При рассмотрении задачи, изображенной на рис. 4.5, теория: С. А. Амбарцумяна приводит к уравнению второго порядка для касательной реакции. Иными словами, теория С. А. Амбарцумяна оказывается в данном типе задач более гибкой по сравнению с теорией Кирхгофа или Рейсснера. Однако обратить в нуль касательные реакции на границе л: 0 и xL она не позволяет. Чтобы это сделать, нужно иметь не второй, а четвертый порядок уравнения. В более поздней работе С. А. Амбарцумяна [ 4J учитывается эффект поперечного обжатия, однако она также приводит к уравнению второго порядка для реакции q в задаче рис, 4.5. Действительно, первая формула (4.18) [ 4, с. Это и приводит к уравнению второго порядка для реакции. [26]
Прикладные теории, опирающиеся на феноменологические упрощающие предположения, менее жесткие, чем гипотезы Кирхгофа-Лява. Здесь наиболее известны теории С. А. Амбарцумяна, Б. Ф. Власова, X. Рейсснера, С. П. Тимошенко и др. [82], которые в отличие от теории Кирхгофа-Лява определенным образом учитывают поперечные сдвиги и, тем самым, более точно описывают напряженно-деформированное состояние пластинки. Однако, несмотря на то, что уравнения, учитывающие поперечные сдвиги, уточняют решения соответствующих смешанных задач ( в случае гладкого штампа устраняют математические некорректности на линиях смены граничных условий), контактные напряжения на границе, как это должно быть по теории Герца, в нуль не обращаются, что искажает истинную картину взаимодействия штампа с покрытием. [27]
Сложнее обстояло с расчетом оболочек вращения на неосе-симметрнчные нагрузки. Наиболее важной из них является обрат-носимметричная нагрузка, иногда называемая также ветровой. Рейсснеру) преобразовывал дифференциальные уравнения в духе, типичном для цюрихской школы, стремясь получить решение в форме плохо сходящихся в данном случае гипергеометрических рядов, что ему и удалось. При этом были обнаружены две квадратуры, а также возможность комплексного преобразования, так что расчет сферической оболочки на ветровую нагрузку в итоге оказался сведенным к интегрированию одного уравнения второго порядка. Последний результат был обобщен затем в работе [126] для оболочек вращения произвольной формы. [28]
Наряду с известными полными функционалами Ху - Вашицу [0.17, 0.18], Рейсснера [0.13] и полным функционалом в перемещениях [3.11, 0.12] построен ряд новых полных функционалов, среди которых полный функционал в квазиосновном пространстве состояний, подобный функционалу Ху - Вашицу, и другие полные функционалы, не зависящие от перемещений, но содержащие функции напряжений, некоторые функционалы в основном и квазиосновном симметри-зованных пространствах, в неполных пространствах перемещений, деформаций, напряжений и функций напряжений и другие. Выявлены экстремальные свойства всех рассмотренных функционалов. Установлено, что большинство полных функционалов, в том числе известные функционалы Ху-Вашицу, Рейсснера и другие, имеют в качестве точки стационарности седловую точку, а среди некоторых новых функционалов обнаружены такие, которые не имеют ни экстремумов, ни минимаксов. [29]
Итак, пусть сплошное тело мысленно разбито на конечные элементы, как указано в § 13.3, и при формулировке метода конечных элементов рассматривается как совокупность этих элементов. В этом параграфе рассмотрим вариационные принципы, которые обычно используются в МКЭ. Для этого проследим в табл. 14.1 вывод вариационных принципов, начиная с принципа стационарности потенциальной энергии, последовательно выводя модифицированный принцип потенциальной энергии, модифицированный обобщенный принцип и кончая модифицированным принципом Хеллингера - Рейсснера. [30]