Cтраница 2
Матричному представлению метрического поля родственно широко распространенное в настоящее время и имеющее более продолжительную историю тетрадное представление. Под тетрадой понижают четверку ( в 4-мерном мире) 4-векторов, которые линейно независимы и образуют поле над пространством-временем. В искривленном мире же может быть такого поля ортогональных реперов ( тетрад), которое допускало бы однозначное распространение на все 4-пространство координатной сетки, построенной как совокупность огибающих этого векторного поля. [16]
Формы со и col j представляют собой движение ортогональных реперов. Они зависят от выбора точки М и выражаются линейными дифференциальными формами от координат пространства xh: dah ( x) dxh, при этом предполагаются непрерывность и дифференцируемость a. Здесь возникает основная проблема: могут ли произвольно заданные формы ю и co j представлять движение ортогонального репера в определенном пространстве. Оказывается, для того чтобы указанные формы описывали произвольное движение ортогональных реперов в заданном пространстве, необходимо и достаточно, чтобы эти формы удовлетворяли уравнениям Мауэра - Картана, которые полностью определяют структуру пространства и называются также уравнениями структуры. [17]
Многие дисциплины, по которым ведется обучение в МГТУ, построены на хорошем понимании физических законов. С деятельностью кафедры физики связаны имена многих выдающихся ученых России. Одним из ярких заведующих кафедрой физики был В.И. Родичев ( 1921 - 1985), в его трудах дается описание теории тяготения с помощью формализма ортогональных реперов ( тетрад), позволявших представить результаты этой теории, а не только уравнений Эйнштейна, в общековариант-ной форме. [18]
Все эти результаты можно проверить непосредственно, однако более глубокое их значение может быть понято, как уже упоминалось выше, только при переходе к общей теории относительности. Как теорема сохранения электрического заряда следует из калибровочной инвариантности уравнений, так и теоремы сохранения импульса-энергии следуют из того обстоятельства, что интеграл действия, сформированный в соответствии с общей теорией относительности, инвариантен относительно произвольного ( инфинитезимального) преобразования координат. Руководствуясь этой общерелятивистской формулировкой, мы далее должны в каждой точке Р пространства-времени построить нормальную систему координатных осей, состоящую из четырех взаимно перпендикулярных направлений в Р ( ортогональный репер), с тем чтобы иметь возможность зафиксировать метрику в Р и описать волновую величину г) через ее компоненты; все допустимые ортогональные реперы в точке Р получаются друг из друга при помощи локальных преобразований Лоренца, которые оставляют точку Р неизменной. Но вращения этих локальных реперов могут производиться в различных точках Р совершенно независимо - величины в различных точках не связываются друг с другом, как в специальной теории относительности. Симметрия тензора энергии-импульса может быть выведена из его инвариантности по отношению к таким вращениям. Можно фактически принять за общее правило, что каждое свойство инвариантности типа, встречающегося в общей теории относительности, относящееся к произвольной функции, приводит к появлению дифференциальной теоремы сохранения. [19]
Все эти результаты можно проверить непосредственно, однако более глубокое их значение может быть понято, как уже упоминалось выше, только при переходе к общей теории относительности. Как теорема сохранения электрического заряда следует из калибровочной инвариантности уравнений, так и теоремы сохранения импульса-энергии следуют из того обстоятельства, что интеграл действия, сформированный в соответствии с общей теорией относительности, инвариантен относительно произвольного ( инфинитезимального) преобразования координат. Руководствуясь этой общерелятивистской формулировкой, мы далее должны в каждой точке Р пространства-времени построить нормальную систему координатных осей, состоящую из четырех взаимно перпендикулярных направлений в Р ( ортогональный репер), с тем чтобы иметь возможность зафиксировать метрику в Р и описать волновую величину г) через ее компоненты; все допустимые ортогональные реперы в точке Р получаются друг из друга при помощи локальных преобразований Лоренца, которые оставляют точку Р неизменной. Но вращения этих локальных реперов могут производиться в различных точках Р совершенно независимо - величины в различных точках не связываются друг с другом, как в специальной теории относительности. Симметрия тензора энергии-импульса может быть выведена из его инвариантности по отношению к таким вращениям. Можно фактически принять за общее правило, что каждое свойство инвариантности типа, встречающегося в общей теории относительности, относящееся к произвольной функции, приводит к появлению дифференциальной теоремы сохранения. [20]
Формы со и col j представляют собой движение ортогональных реперов. Они зависят от выбора точки М и выражаются линейными дифференциальными формами от координат пространства xh: dah ( x) dxh, при этом предполагаются непрерывность и дифференцируемость a. Здесь возникает основная проблема: могут ли произвольно заданные формы ю и co j представлять движение ортогонального репера в определенном пространстве. Оказывается, для того чтобы указанные формы описывали произвольное движение ортогональных реперов в заданном пространстве, необходимо и достаточно, чтобы эти формы удовлетворяли уравнениям Мауэра - Картана, которые полностью определяют структуру пространства и называются также уравнениями структуры. [21]
Равенство нулю тензора кривизны Римана - Кристоффеля является необходимым и достаточным условием того, чтобы мир был плоским и в нем существовали галилеевы ( декартовы) глобальные системы координат. Необходимость этого совершенно очевидна; наглядный же подход к доказательству достаточности состоит в следующем. Если тензор Римана - Кристоффеля равен нулю, то в силу (1.72) и (1.74) параллельный перенос не зависит от выбора пути. Поэтому, взяв в какой-либо точке четверку взаимно ортогональных векторов ( тетраду), можно однозначно построить с помощыо параллельного переноса во всем мире поле тетрад, повсюду ортогональных друг другу и покрывающих сразу все пространство-время. Система координат, образованная этими тетрадами, везде непрерывна ввиду указанной однозначности, и ее следует назвать голоном-ной. В этой декартовой системе метрика принимает сразу всюду вид (1.25), п чем и требовалось убедиться. Отражением того факта, что в искривленном мире неоднозначность параллельного переноса препятствует распространению декартовой системы на все пространство, является неголоном-ность в этом случае связанной с тетрадами системы координат, которая не образует координатной сетки над пространством-временем. Локально мы всегда можем опираться на ортогональный репер ( тетрады), и это соответствует возможности выбора локально геодезических систем. Так как подобные системы можно распространять вдоль линий, то тетрадные системы координат успешно работают на бесконечно узких полосках пространства-времени. Однако лишь только мы попытаемся сшить эти полоски в искривленном мире, как они сразу же разъезжаются, так как их принципиально невозможно согласовать друг с другом при отличном от нуля тензоре Римана - Кристоффеля. [22]