Cтраница 2
Таким образом, существует принципиальная возможность восстанавливать непрерывную плотность распределения вероятностей. Однако восстановление плотности связано с решением некорректно поставленной задачи численного дифференцирования (2.24) в условиях, когда правая часть уравнения задана неточно. [16]
В [165, 166] разработан новый подход к решению некорректно поставленных задач, позволяющий строить приближенные решения уравнения ( 2; 0 1), устойчивые к малым изменениям исходных данных, для существенно некорректных задач. Для упрощения изложения в настоящей главе, кроме специально оговоренных мест, мы будем полагать, что в уравнении ( 2; 0 1) приближенной может быть лишь правая часть и, а оператор А известен точно. [17]
Назрела необходимость написания книги, посвященной методам решения некорректно поставленных задач, в которой в доступной для широкого круга читателей форме излагались бы основные идеи и вопросы, связанные с построением решений таких, задач по приближенным данным, устойчивых к малым изменениям последних. Такую книгу мы и предлагаем вниманию читателей. [18]
В этой главе описывается наиболее известная схема построения конкретных регуляризирующих алгоритмов. От нее и начался, по существу, современный этап развития численных методов решения некорректно поставленных задач Рассматриваемые ниже конструкции в линейном случае непосредственно приводят к легко реализуемым на ЭВМ численным алгоритмам, широко используемым на практике. В случае нелинейных задач схема Тихонова также служит идейной основой построения эффективных численных алгоритмов. [19]
В настоящем разделе обращается внимание на то, что обязательным этапом обработки КВД является проверка полученных результатов на устойчивость. Предложены регуляризирующие ( повышающие устойчивость) алгоритмы интерпретации КВД, основанные на известных методах решения некорректно поставленных задач. [20]
Эта книга является введением в численные методы. Она начинается с простейших задач интерполирования функций и кончается недавно возникшим разделом вычислительной математики - методами решения некорректно поставленных задач. Книга написана на основе годового курса лекций, читавшихся автором сначала инженерам-конструкторам, а после переработки-студентам физического факультета МГУ. Для каждой задачи существует множество методов решения. [21]
Теория регуляризации А. Н. Тихонова пригодна для весьма широкого круга задач. В наши цели, естественно, входит лишь достаточно узкий аспект ее применения, а именно для решения некорректно поставленных задач линейной алгебры, связанных с отысканием решений систем линейных алгебраических уравнений. Предварительно дадим некоторые определения, которые нам потребуются. [22]
Другими главами являются методика применения теории вероятностей, теория сложных систем, теория численных методов математического анализа, методика решения некорректно поставленных задач 7 и многие другие. [23]
Другим фактором, который необходимо учитывать при решении обратных задач такого типа, является наличие погрешностей в промысловых данных. Таким образом, принципиальное значение приобретают вопросы исследования обратных задач, постановка которых определяется характером промысловых данных, и разработка устойчивых методов их решения. Решение некорректно поставленных задач становится устойчивым, если наложить на множество допустимых решений некоторые дополнительные ограничения. Поэтому важным моментом при решении задачи об определении фильтрационных параметров является выделение подходящего класса допустимых решений на основе некоторой дополнительной информации. [24]
Однако имеются целые классы практически важных задач минимизации, являющиеся некорректно поставленными. К таким задачам относятся многие задачи минимизации функций конечного числа переменных, задачи оптимального управления, связанные с системами обыкновенных дифференциальных уравнений или уравнениями с частными производными, а также ряд других экстремальных задач. Возникает практически важный вопрос: как преодолеть трудности решения некорректно поставленных задач минимизации в тех случаях, когда U непусто и требуется найти не только минимальное значение функционала, но и какой-либо минимизирующий элемент с нужной точностью в той или иной норме. [25]
Вообще, некорректные задачи в последовательной постановке с неизбежностью приводят к необходимости использования нечеткой терминологии. Однако в существующей литературе на это обстоятельство обращается мало внимания. Авторы в какой-то мере восполняют этот пробел, рассматривая нечеткие алгоритмы решения некорректно поставленных задач. [26]
Вернемся к интегральному уравнению (2.18), решение которого определяет плотность распределения вероятности. Будем искать приближенное решение этого уравнения в ситуации, когда неизвестная функция распределения случайной величины F ( z) заменена эмпирической функцией Ft z), найденной по конечной выборке. Ниже в добавлении к части четвертой на основе равномерной сходимости F ( z) к F ( z) будет указана такая процедура получения приближенных решений уравнения (2.18), при которой с ростом I последовательность решений стремится к искомой плотности вероятности. Таким образом, существует принципиальная возможность восстанавливать непрерывную плотность распределения вероятности. Однако восстановление плотности связано с решением некорректно поставленной задачи численного дифференцирования (2.18) в условиях, когда правая часть уравнения задана неточно. [27]
Как показывает опыт, излишнее усложнение модели может привести к неустойчивости алгоритмов идентификации и лишить идентификационную модель предсказательной силы. В связи с этим авторы уделяют повышенное внимание вопросам выбора оптимальной сложности идентифицируемой модели. Эта проблема не может быть до конца формализована, поэтому для ее решения в монографии предлагается использовать методы нечеткой логики. Вообще, некорректные задачи в последовательной постановке с неизбежностью приводят к необходимости использования нечеткой терминологии. Однако в существующей литературе на это обстоятельство обращается мало внимания. Авторы в какой-то мере восполняют этот пробел, рассматривая нечеткие алгоритмы решения некорректно поставленных задач. Рассмотренные в монографии методы решения обратных задач иллюстрируются рядом примеров. [28]
Аналогично этому амплитудно-частотная характеристика устойчивого средства измерений уменьшается с увеличением частоты. Таким образом, по двум функциям g ( t) и y ( t) с убывающими спектрами требуется найти третью - x ( t), которая их однозначно связывает. В области высоких частот, где интенсивности спектров соизмеримы с погрешностями, последние могут обусловить значительную неопределенность решения. Эта неопределенность в зависимости от конкретного источника ( квантование сигналов во времени, погрешности отсчитывания значений) принимает форму искажений ( помех) истинного решения, соответствующих характеру источника, но настолько интенсивных по сравнению с истинным решением, которое оказывается совершенно подавленным. Поскольку на практике конкретные источники искажений, в том числе упомянутые выше, имеют характер более высокочастотный, чем сами сигналы, то искажения истинного решения во временной области имеют вид быстро-осциллирующих функций, интенсивность которых на несколько порядков превосходит интенсивность истинного решения. Проблема некорректности может быть снята путем использования априорной информации об истинном решении, которая позволяет отфильтровать нерегулярные решения. Все методы решения некорректно поставленных задач по физической сущности сводятся к фильтрации нерегулярных решений, причем основным является выбор оптимальной степени фильтрации. [29]