Cтраница 1
Решение краевых задач математической физики чаще всего сводится к нахождению частного результата, удовлетворяющего заданным дополнительным условиям. К числу таких условий относятся значения искомых функций или их производных, заданных на границах области. [1]
Решение краевой задачи математической физики должно описывать определенный и единственный процесс. [2]
Решения краевых задач математической физики имеют смысл в том случае, если есть уверенность в устойчивости получаемых результатов относительно граничных и начальных данных. Указанные требования сводятся к тому, что малые изменения граничных и начальных условий должны соответственно вызывать малые изменения в результатах решения по всей заданной области. [3]
Решение краевых задач математической физики, связанных с математическим моделированием технологических процессов, существенно затрудняется, как правило, сложной геометрией пространственно-временной области, в которой строится решение задачи. [4]
Для решения краевых задач математической физики, относящихся к слою и к толстой плите ( теплопроводности, теории потенциала и др.), оказывается весьма удобным применение символического способа записи решений соответствующих дифференциальных уравнений в частных производных. Особенно наглядно достоинства этого способа обнаруживаются в применении к столь сложной системе дифференциальных уравнений, как уравнения (1.1) теории упругости в перемещениях. [5]
Многие пакеты прикладных программ для решения краевых задач математической физики методом конечных элементов организованы по следующей схеме. После формирования матрицы системы А путем перестановки строк и столбцов ( одновременно переставляются г-я и j - я строки и г-й и j - й столбцы) система преобразуется к виду с наименьшей шириной ленты. Далее применяется метод квадратного корня. При этом с целью уменьшения объема вычислений при решении системы Ах b с другими правыми частями матрица S запоминается. [6]
Применение теории линейных пространств в современных или даже классических методах решения краевых задач математической физики позволяет вскрыть новое содержание в промежуточных математических преобразованиях, более целесообразно и обозримо находить искомые решения. [7]
Предлагаемая вниманию читателей книга посвящена в основном описанию и обобщению двух широко распространенных аналитических методов решения краевых задач математической физики. Один из них - метод факторизации - лишь сравнительно недавно стал популярным и успешно используется для нахождения точного решения важных и интересных краевых задач электродинамики, акустики и теории упругих волн. К настоящему времени круг задач, поддающихся решению этим методом в его обычном виде, существенно исчерпан. Второй метод - метод сшивания ( или метод частичных областей), позволяющий получать решение краевых задач для сложных областей, состоящих из простых подобластей, - хотя и широко применяется, по-видимому, не полностью обоснован теоретически. В частности, до последнего времени не существовало ясных рекомендаций относительно численного решения бесконечных систем алгебраических уравнений, к которым приводит формулировка краевой задачи с помощью метода сшивания. [8]
В классическом математическом анализе на рубеже двух столетий центральное место занимали проблемы, связанные с решением краевых задач математической физики. В девяностые годы Пуанкаре значительно обобщил результаты п методы своих предшественников, однако не все у него било достаточно строго обосновано. Дальнейшие успехи в этом направлении ( при сохранении в основном прежних методов) были достигнуты благодаря работам А. М. Ляпунова, С. [9]
В Институте проблем машиностроения АН УССР создан генератор программ Поле-3 [4], предназначенный для автоматизированного составления комплекса программ решения двумерных и осесимметричных краевых задач математической физики в областях сложной формы. Для решения задачи ( 1) - ( 4) в условиях эксплуатации генератора программ Поле-3 расширены возможности некоторых директив входного языка и составлены программные модули функционального наполнения, реализующие описанный выше алгоритм. [10]
W ( fi) и доказательство соотношений между нормами в этих пространствах, дают очень простой, широко применимый метод решения краевых задач математической физики. [11]
На основе рассмотренных выше подходов к решению уравнения Пуассона можно сделать важное и довольно общее заключение по поводу формирования эффективных алгоритмов решения краевых задач математической физики. Это прежде всего относится к проблеме граничных условий. Выше была последовательно проведена идея исключения граничных условий, налагаемых в качестве дополнительных связей на решение задачи, и модификации их с учетом разностных аналогов исследуемых задач. [12]
Проекционно-сеточные методы, к которым, в частности, относится метод конечных элементов, стали в настоящее время наиболее эффективными методами решения краевых задач математической физики. [13]
Более сложным, чем для двух предыдущих методов, является вопрос об удовлетворении предельного решения граничным условиям, когда метод наименьших квадратов применяется для решения краевых задач математической физики. Кратко опишем два возможных подхода к решению этого вопроса. [14]
Более сложным, чем для двух предыдущих методов, является вопрос об удовлетворении предельного решения граничным условиям, когда метод наименьших квадратов применяется для решения краевых задач математической физики. Опишем кратко два возможных подхода к решению этого вопроса. [15]