Cтраница 2
Тем самым все остальные кривые семейства q ( t, а) при а ф О решениями поставленной краевой задачи не являются. [16]
Сформулированная локальная задача, как уже говорилось выше, может иметь смысл только при условии, что она описывает главную часть решения корректно поставленной краевой задачи, которая вблизи рассматриваемой точки имеет указанные граничные условия. [17]
В настоящем примере это объясняется невозможностью удовлетворить граничным условиям отсутствия нагрузок вблизи края щели; если материалы различны, то всегда вблизи края щели, оказывается, существуют участки, на которых противоположные берега щели взаимно проникают один в другой, что невозможно. Поэтому решения поставленной краевой задачи, строго говоря, не существует; тем не менее, когда комплексность собственных чисел слаба в указанном ранее смысле, формальное математическое решение имеет определенный физический смысл. [18]
Эта же задача для ограниченной области пространства ( а, xz, x3) сведена к системе интегральных уравнений типа Фред-гольма. Чтобы доказать существование решения поставленной краевой задачи при произвольных непрерывных граничных функциях, остается, таким образом, доказать единственность решения этой задачи; по это последнее пока не удается. [19]
К своей заметке [12], посвященной этому предмету, Пиконе как раз ставит вопрос о том, каким образом надо выбирать такие функции, чтобы системы уравнений Фишера - Рисса имели в качестве решений все решения поставленной краевой задачи и только эти решения. Первый ответ на этот вопрос для частного случая, уравнений с постоянными коэффициентами содержится уже в цитированной заметке Пиконе и в работе [3] Америо. [20]
Метод Пиконе состоит в следующем. Из формулы (31.5) получают систему уравнений Фишера - Рисса для некоторого подходящим образом подобранного неизвестного вектора. Решение этой системы позволяет найти решение поставленной краевой задачи. [21]
В предыдущей главе важнейшими являются два момента. Прежде всего ясно, что, каким бы ни было волновое движение в упругом теле, оно всегда представимо в виде суперпозиции продольных и поперечных волн. Кроме того, получение конкретных данных о различных частных случаях волновых движений возможно лишь на основе решения корректно поставленных краевых задач. Прежде чем перейти к построению и анализу решений ряда таких задач, остановимся на рассмотрении волновых процессов, для описания которых в полном объеме краевая задача не формулируется. [22]
При численном решении контактных задач итерационный процесс (4.10) соответствует попеременному решению краевых задач для тел 1 и 2 с граничными условиями (4.8), и в этом случае вычисление матриц податливости и жесткости, являющихся дискретными аналогами соответственно операторов Gt и Gj1, не нужно. Что касается проверки достаточного условия сходимости итерационного процесса 1И 1, или 1ИСТ 1, то в этом также нет необходимости, так как расходимость обнаруживается в течение первых итераций, после чего надо изменить направление процесса. Однако здесь требуется предосторожность. Выше говорилось, что матрицы податливости вычисляются путем решения корректно поставленной краевой задачи теории упругости. В отличие от этого обращение этих матриц соответствует решению некорректной задачи. [23]
При численном решении контактных задач итерационный процесс (4.10) соответствует попеременному решению краевых задач для тел 1 и 2 с граничными условиями (4.8), и в этом случае вычисление матриц податливости и жесткости, являющихся дискретными аналогами соответственно операторов Gf и С / 1, не нужно. Что касается проверки достаточного условия сходимости итерационного процесса 1ИМ 1, или 4а 1, то в этом также нет необходимости, так как расходимость обнаруживается в течение первых итераций, после чего надо изменить направление процесса. Однако здесь требуется предосторожность. Выше говорилось, что матрицы податливости вычисляются путем решения корректно поставленной краевой задачи теории упругости, В отличие от этого обращение этих матриц соответствует решению некорректной задачи. [24]
Особенно просто решается задача в тех случаях, когда отображающая функция со ( С) есть полином. В этом случае система совместных уравнений, которую приходится решать, оказывается конечной. На этом может быть построен метод приближенного решения задачи. Ограничившись здесь только этими общими замечаниями, мы займемся изложением другого метода решения поставленных краевых задач, именно сведением их к некоторым функциональным уравнениям. Этот прием основан на приложении интегралов типа Коши. [25]