Cтраница 1
Решение Римана состоит из центрированных волн. Для одномерного уравнения Эйлера их три: ( и - с и, и с), одна из которых - контактный разрыв, а остальные могут быть ударными волнами или волнами разрежения. Точное решение этой задачи включает только алгебраические уравнения. [1]
Следовательно, решение Римана, которое приводит к такому результату, может иметь физический смысл только до тех пор, пока функция (IV.36) сохраняет однозначность. [2]
Указанные выше особенности решений Римана служат главной основой для конструирования решения ряда задач с использованием решений Римана. В частности, с помощью решений Римана легко построить решение автомодельной задачи о движении газа за поршнем, выдвигаемым при t О с постоянной скоростью из цилиндрической трубы, заполненной совершенным газом, в предположении, что при t s 0 поршень и газ покоились, а при t 0 движение газа адиабатично или вообще баротропно. [3]
Риманом в 1860 г. Эквивалентность решений Римана для простой волны в форме (2.37) и в форме (2.33) очевидна. Из (2.37) ясно также, в каком смысле это решение представляет собой бегущую волну: точка, в которой скорость и имеет определенное значение, передвигается в пространстве с постоянной скоростью. [4]
Таким образом, если в решении Римана имеются участки волны сжатия, в потоке идеальной ( невязкой) среды обязательно будут возникать скачки уплотнения. Разрывы не будут образовываться, если плотность в волне Римана монотонно возрастает в направлении распространения волны на всем ее протяжении, как, например, в случае волны, возникающей при непрерывном выдвигании поршня из заполненной газом длинной трубы. Скачки уплотнения могут, а скачки разрежения не могут возникать, так как профиль волны разрежения становится все более пологим. [5]
Формулы (18.15), (18.16) и (18.14) дают решение Римана. В этом решении функция F ( р) произвольна, этой функцией можно распорядиться и удовлетворить некоторым добавочным частным условиям. [6]
Такие частные решения системы уравнений (18.1) - (18.3) носят название решений Римана; соответствующие этим решениям движения называются волнами Римана. [7]
Следовательно, такие автомодельные движения являются волнами Римана или кусочно гладкими комбинациями решений Римана, но автомодельные волны соответствуют случаю, когда в формуле (18.15) функция F ( р) равна нулю. [8]
Указанные выше особенности решений Римана служат главной основой для конструирования решения ряда задач с использованием решений Римана. В частности, с помощью решений Римана легко построить решение автомодельной задачи о движении газа за поршнем, выдвигаемым при t О с постоянной скоростью из цилиндрической трубы, заполненной совершенным газом, в предположении, что при t s 0 поршень и газ покоились, а при t 0 движение газа адиабатично или вообще баротропно. [9]
Если по-прежнему оставаться в рамках представлений о гипотетической идеальной среде, в которой полностью отсутствует внутреннее трение, то многозначность решения Римана при х хрязр для такой среды означает образование в пей плоского разрыва, приводящего к отражению волны. Хотя в реальной среде при реальных амплитудах ультразвуковых волн дело до разрыва, как правило, не доходит, термин расстояние до разрыва иногда используется в нелинейной акустике для обозначения расстояния, на котором назревают условия разрыва. [10]
Однако можно показать, пользуясь точными уравнениями движения ионов и электронов, что, если пренебречь давлением плазмы, для применимости решения Римана вместо ( 3) ( условие ( 2) тогда выполняется тождественно, так как р 0) достаточно предположить квазинейтральность плазмы. [11]
Так как задача о распаде разрыва, возникающая в методе Годунова, относится только к аппроксимации данных, возможно было бы удовлетворить решению Римана также приближенно. В работах [332, 337, 338] были предложены методы для отыскания такого решения. Метод [338] достаточно сложен для объяснения, хотя используются только арифметические операции. [12]
В этих приложениях нет необходимости использовать плотность как основную неизвестную величину, вместо плотности можно взять в качестве искомой величины любой другой параметр, связанный известным способом с плотностью. Соответствующие видоизменения решения Римана очевидны. [13]
Указанные выше особенности решений Римана служат главной основой для конструирования решения ряда задач с использованием решений Римана. В частности, с помощью решений Римана легко построить решение автомодельной задачи о движении газа за поршнем, выдвигаемым при t О с постоянной скоростью из цилиндрической трубы, заполненной совершенным газом, в предположении, что при t s 0 поршень и газ покоились, а при t 0 движение газа адиабатично или вообще баротропно. [14]
В общем случае при мир постоянных соотношение (18.15) также определяет прямую, однако если F ( р) / 0, то п и различных и и р прямые этого семейства не проходят через начало координат. Очевидно, что вдоль каждой такой прямой решение Римана можно склеивать непрерывно с покоем или с поступательным движением среды. Поступательные движения также являются простейшими примерами решения Римана. [15]