Cтраница 2
Если необходимо принимать в расчет нули внутри ленточной структуры матрицы для экономии памяти либо сокращения числа арифметических операций, то структура данных и ее обработка могут значительно усложниться. Такая детальная структура может возникать при применении конечно-разностных методов к краевым задачам для эллиптических уравнений в частных производных с переменными коэффициентами. Решение подобных систем посредством гауссова исключения все еще является исследовательской задачей, и универсальные программы этого сорта только начинают создаваться. [16]
Как уже неоднократно отмечалось, достижение одним из напряжений формоизменения критического значения / С еще не означает появления больших деформаций, а соответствует лишь переходу за предел упругости в некоторой части тела. Внутри нее перемещения и напряжения могут быть найдены решением некоторой системы уравнений, вывод которых будет намечен позже. Трудности решения подобных систем осложняются неизвестностью границы, отделяющей область тела, где возникло пластическое состояние, от области чисто упругих деформаций. [17]
Системы такого вида возникают при трехточечной аппроксимации краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка, например, методами конечных разностей, а также при реализации разностных схем для уравнений в частных производных. В последнем случае обычно требуется решить не одну, а серию таких задач с различными правыми частями. Поэтому необходимы эффективные методы решения подобных систем. Одним из таких методов является метод прогонки ( метод факторизации), который задается следующими формулами. [18]
Рассматриваемая система уравнений Сен-Венана является нелинейной и относится к гиперболическому типу. Строгое решение такой системы весьма затруднительно. По существу, вычислительная математика не имеет еще общей теории решения подобных систем. Более того, нет общей теории и для приближенных методов, которые в этом случае приобретают исключительное значение. [19]
Системы линейных уравнений с подобным невежливым поведением математики называют плохо обусловленными. Заметим, что такая система может описывать некоторый реальный объект, в этом случае коэффициенты и правые части системы являются прямыми результатами измерений или вычислены по таким результатам и, следовательно, известны нам с некоторой погрешностью. Естественно, возникает вопрос: какую практическую ценность может иметь решение подобной системы. [20]