Cтраница 3
Переходим теперь к рассмотрению неоднородной системы ( 3) в общем случае. Как было показано в 2.626, геометрический образ Н, отвечающий совокупности всех решений неоднородной системы, есть гиперплоскость в л-мерном пространстве Кп, полученная сдвигом подпространства L решений соответствующей однородной системы ( по доказанному изоморфного пространству Rn r) на некоторый вектор XQ, являющийся произвольным частным решением неоднородной системы. [31]
Решение ( 13) состоит из двух слагаемых. Второе слагаемое ( 13) есть частное решение однородной системы, добавление которого позволяет получившемуся решению неоднородной системы удовлетворить нулевым начальным условиям. [32]
Граф фа [1] посвящена исследованию сопряженно. Автор определяет ( это определение есп у Дарбу) систему решений сопряженного уравнения, которую естествен назвать сопряженной с данной фундаментальной системой исходного уран нения; далее, вводя для системы линейных алгебраических уравнен понятие связанной с нею системы ( условие ортогональности любого век тора-решения первой системы вектору-решению второй), автор полу чает условия существования решения неоднородной системы. Для сам сопряженного у равнения устанавливается форма самосопряженных репй ний и дается новая каноническая форма самосопряженных граничны условий. В качестве приложения этих результатов дается критерий пол жительности характеристических чисел. [33]
Определяется вид воздействия на линейную динамическую систему, при котором она входит в резонанс. Составляется эквивалентная однородная система дифференциальных уравнений, решением которой является резонансное решение исходной линейной неоднородной системы. Метод позволяет получать резонансное решение неоднородной системы, не определяя предварительно резонансного воздействия на систему. [34]
Из выписанных соотношений вытекает существование решения ( 17), удовлетворяющего условию ( 18), если матрица ZT ( 0) Z ( 0) обратима. Матрица ZT ( 0) Z ( 0) является матрицей Грамма для этих г линейно независимых векторов и поэтому обратима. Для задания подпространства W решений неоднородной системы, удовлетворяющих левому граничному условию, необходимо задать еще некоторый вектор этого подпространства. [35]