Cтраница 2
Граф фа [1] посвящена исследованию сопряженно. Автор определяет ( это определение есп у Дарбу) систему решений сопряженного уравнения, которую естествен назвать сопряженной с данной фундаментальной системой исходного уран нения; далее, вводя для системы линейных алгебраических уравнен понятие связанной с нею системы ( условие ортогональности любого век тора-решения первой системы вектору-решению второй), автор полу чает условия существования решения неоднородной системы. Для сам сопряженного у равнения устанавливается форма самосопряженных репй ний и дается новая каноническая форма самосопряженных граничны условий. В качестве приложения этих результатов дается критерий пол жительности характеристических чисел. [16]
Здесь с единых позиций в самом общем виДе излагаются принципы построения основного и сопряженного уравнений и граничных условий к ним для описания инженерных характеристик ЯЭУ. Приводятся фундаментальные соотношения между функциями Грина основного и сопряженного уравнений, обсуждается физический смысл решений сопряженного уравнения, записаны формулы теории возмущений с учетом различных приближений. [17]
ЭВМ среднего класса, а может быть, и благодаря им, в теорию метода были внесены усовершенствования, которые существенно повысили эффективность метода в решении большого круга задач науки и техники. Наиболее значительные усовершенствования связаны с привлечением для расчетов условных вероятностей процессов и статистических весов, определяемых на основе информации о решениях сопряженных уравнений по отношению к существенным функционалам задач. [18]
Однако несмотря на трудности в осуществлении метода на ЭВМ среднего класса, а может быть, и благодаря им, в теорию метода были внесены усовершенствования, которые существенно повысили эффективность метода в решении большого круга задач науки и техники. Наиболее значительные усовершенствования связаны с привлечением для расчетов условных вероятностей процессов и статистических весов, определяемых на основе информации о решениях сопряженных уравнений по отношению к существенным функционалам задач. [19]
В этих и аналогичных случаях систему основного и сопряженного уравнений, даже при однородных граничных условиях, уже нельзя считать разомкнутой, так как в правую часть сопряженного уравнения шриходится подставлять величину, зависящую от решения основного уравнения. Тем не менее формулы теории возмущений (5.83), (5.88) остаются здесь справедливыми и могут быть использованы так же, как и в случае линейных функционалов, при условии, что решение сопряженного уравнения будет найдено после решения основного и с учетом этого решения. [20]
В самом деле, подстановка указанных выражений для Xj ( t) и Уь ( 0 в среднюю часть цепочки равенств ( 19) показывает, что ( Xjt, У. И 0 такое произведение может быть постоянным, только будучи тождественно равным нулю, что и требовалось доказать. Эта ортогональность в сочетании с процессом ортого-нализации для случая кратных корней характеристического уравнения дает возможность построить биортого-нальные базисы в пространствах решений уравнений ( 1) и ( 17) и получить выражение для коэффициентов разложения ( 16) с помощью шимановских произведений начальной функции на экспоненциально-полиномиальные решения сопряженного уравнения. [21]
Второй подход, называемый итерацией функции управления, приводит к очень устойчивому и хорошо сходящемуся процессу. Вначале задаются функцией управления на всем интервале управления. Используя эту функцию, вначале решают уравнения состояний в прямом времени, исходя из начальных условий, и запоминают решение. Затем эти вычисленные функции состояний используют для решения сопряженных уравнений в обратном времени от известных конечных условий и вновь запоминают решение функции. Управления, состояния и сопряженные функции, получающиеся при первой итерации, используются для вычисления модифицированной функции управления, и весь процесс повторяется. Итерации повторяют до тех пор, пока функции управления не сойдутся к оптимальному управлению, а функции состояния и сопряженные функции - к соответствующим экстремалям. Следует отметить, что в отличие от итераций граничных значений эта итерационная процедура является успешной, поскольку сопряженные уравнения решаются в обратном времени, и в этом направлении их решения имеют устойчивые характеристики. [22]
На основании произвольно заданного числа переключений управления определяются моменты переключения, при которых n ( t) максимально. После того как ni () приняло максимальное значение, поиск прекращается. Функции п2 ( М n3 ( t) и 4 ( 1), соответствующие управлению, при котором n ( ti) максимально, подставляются в сопряженное уравнение (V.71), которое и решается. Если с самого начала число переключений было задано правильно, то решение сопряженного уравнения дает функцию ( t), число пересечений которой с осью времени на интервале ( 0, t) равно заданному числу переключений управляющей функции, а моменты пересечения которой совпадают с моментами переключения управления. Если же функция tyi ( ti), получающаяся в результате решения сопряженной системы, и управляющая функция меняют знаки неравное число раз или в разные моменты времени, то вновь решается исходное уравнение, но число переключений управляющего воздействия теперь выбирается равным числу пересечений функцией tyi ( ti) оси времени. [23]
Область применимости этого предположения будет обсуждена ниже. Задача состоит в определении числа частиц, поглощаемых сферой за определенное время. Выше мы видели, что имеется два метода решения таких задач. Первый метод основывается на решении уравнения диффузии или уравнения Фоккера - Планка, второй - на решении сопряженного уравнения Фоккера - Планка. Оба метода, как мы увидим, приводят к равноценным результатам. [24]
Она дает связь возмущений функционала с возмущениями параметров среды и граничных условий задачи. Видно, что при р, р / 0 ( однородные граничные условия) предпоследний член формулы (5.83) обращается в нуль. Однако следует подчеркнуть, что при Pi 0 сопряженный потенциал ф ( г) здесь зависит от распределения потенциала ф ( г) на границе среды и может быть найден путем решения сопряженного уравнения (5.25) с граничным условием (5.26) только после решения невозмущенного уравнения электропроводности. [25]