Cтраница 2
Установлено, что решение дифференциального уравнения второго порядка значительно сложнее, чем решение Дифференциального уравнения первого порядка. Общее решение дифференциального уравнения п-го порядка могло бы оказаться крайне сложным, если бы мы пытались применить методы, развитые в гл. В данной главе рассмотрены методы описания систем более высокого порядка. Оказывается, что линейная система наиболее точно описывается соотношением вход - выход во временной области с помощью ее импульсной характеристики. Импульсная входная функция является идеализацией, которая обладает многими полезными математическими свойствами. [16]
Ответы на эти вопросы дает теорема Коши - теорема существования и единственности решения дифференциального уравнения первого порядка, разрешенного относительно производной. [17]
Для получения оценки ( /) профильтрованного значения сигнала необходимо подставить (4.135) в (4.133) и найти решение дифференциального уравнения первого порядка, используя численные методы или моделирование на ЭВМ. [18]
В этом методе все решающие блоки, реализующие отдельные математические операции, соединены в группы, каждая из которых предназначена для решения дифференциального уравнения первого порядка. [19]
Метод решения дифференциального уравнения первого порядка определяется типом этого уравнения. В приложениях наиболее часто приходится сталкиваться с уравнениями с разделяющимися переменными, линейными уравнениями первого порядка и однородными уравнениями первого порядка. [20]
В зависимости от характера задач применяют линейные или нелинейные решающие элементы, которые соединяют в матричные или в структурные модели. В матричных моделях отдельные элементы соединяются в группы, обеспечивающие решение дифференциального уравнения первого порядка. Задачу набирают изменением коэффициентов в блоках, подачей необходимых напряжений и соответствующим соединением отдельных групп. В структурных моделях решающие элементы соединяются между собой в соответствии с заданным уравнением. Моделирующие устройства работают как в натуральном, так и в измененном масштабах времени. При ускоренном масштабе времени проводится искусственная периодизация процесса с наблюдением его на экране катодного осциллографа. Первым этапом при использовании моделирующих устройств для исследования САР является составление структурной схемы соединения элементов в соответствии с заданной системой дифференциальных уравнений. [21]
По способу компоновки отдельных решающих элементов различают матричные и структурные ЭВМ. В матричных ЭВМ решающие элементы конструктивно объединены в отдельные группы, предназначенные для решения дифференциальных уравнений первого порядка; для набора задачи следует соединить отдельные группы и установить коэффициенты. [22]
Но в последних однородность можно было определять только по переменным х т у, поскольку дифференциалы, естественно, должны иметь одинаковое с ними измерение. В дифференциальных же уравнениях второго порядка, кроме самих переменных х л у, следует учитывать при подсчете измерений также и букву q, а именно ей надо приписать измерение, равное минус единице; буква же р, очевидно, в этот подсчет не входит, так как она, как бы она ни входила в уравнение, не нарушает однородности. Познать же природу однородных дифференциальных уравнений второго порядка имеет большое значение, так как их решение может быть сведено к решению дифференциальных уравнений первого порядка и, если последнее удается, то тем самым будут проинтегрированы исходные дифференциальные уравнения второго порядка. Более подробно мы это покажем при разборе следующей задачи. [23]
Строго говоря, всякая АВМ образует выходные напряжения, представляющие собой некоторые функции времени. При моделировании технических систем и, особенно, их внешних воздействий часто требуются различные функции времени. Тем не менее оказывается удобным располагать перечнем схем, образующих некоторые стандартные функции. Некоторые из этих схем из числа наиболее важных перечислены в табл. 10.3. В схеме 1 используется от обстоятельство, что экспоненциальная функция представляет собой решение дифференциального уравнения первого порядка. Поэтому для ее построения достаточно одного интегратора, охваченного цепью обратной связи. Более подробно подобный метод будет рассмотрен в гл. Аналогичным образом синусоидальная и косинусоидальная зависимости образуются с помощью схем, обычно используемых для решения дифференциальных уравнений второго порядка. Степени переменной пропорциональной времени образуются как показано на схеме 3 с помощью цепочек последовательно соединенных интеграторов. Схема 4 образует прямоугольные и треугольные импульсы. Когда ключ, подключенный параллельно конденсатору и интегратору, размыкается, схема начинает работать в режиме автогенератора. [24]
Чтобы вычислить третью производную в конечно-разностном виде, необходимо иметь значения второй производной по меньшей мере в двух точках. Очевидно, чем выше порядок вычисляемой производной, тем больше дополнительных вычислений потребуется внутри интервала. Метод Рунге - Кутта дает набор формул для расчета координат внутренних точек, требуемых для реализации этой идеи. Так как существует несколько способов расположения внутренних точек и выбора относительных весов для найденных производных, то метод Рунге - Кутта в сущности объединяет целое семейство методов решения дифференциальных уравнений первого порядка. [25]