Cтраница 1
Решения конечно-разностных уравнений сходятся к точному решению краевой задачи при Их, / гу-0. Скорость сходимости зависит от порядка аппроксимации дифференциального уравнения и краевых условий. Поэтому важно, чтобы погрешности аппроксимации дифференциального уравнения и краевых условий имели одинаковый порядок. [1]
Мощным методом решения линейных конечно-разностных уравнений является преобразование Фурье. [2]
Таким образом, решение конечно-разностных уравнений (11.12) разбивается на два этапа. [3]
Этот метод требует решения дополнительных конечно-разностных уравнений, обычно более простых, чем приведенные выше, и решаемых аналогичными методами. [4]
В руках квалифицированного математика методы решения конечно-разностных уравнений являются мощнейшим средством исследования чувствительности ( устойчивости) алгоритмов к вычислительной погрешности. Если требуется исследовать алгоритм решения некоторой задачи, то подбирают близкую по структуре задачу ( например, следуя принципу замороженных коэффициентов ( см. гл. [5]
Особого внимания заслуживают прямые методы решения конечно-разностных уравнений, изложенные в конце этой главы. Это прежде всего быстрое преобразование Фурье и метод циклической редукции. Эти методы предложены недавно и их популярность непрерывно возрастает. [6]
Необходимо отметить, что предлагаемая методика решения нелинейных конечно-разностных уравнений, аппроксимирующих уравнения нестационарной газопередачи, при условии сходимости описанного итерационного процесса позволяет получить точное решение системы нелинейных конечно-разностных уравнений. Этим предложенная методика принципиально отличается от способов линеаризации, когда в нелинейных уравнениях какие-либо неизвестные функции заменяются постоянными величинами. В результате таких линеаризации получаются уже приближенные решения исходных нелинейных уравнений. [7]
Здесь и в дальнейшем через и обозначается решение конечно-разностного уравнения. [8]
Весьма важным моментом при разработке программ для решения конечно-разностных уравнений является учет влияния криволинейной границы, на которой задаются значения потенциала. Это не означает, что необходимо переходить к специальным сеткам внутри области, с тем чтобы включить в рассмотрение граничные точки. [9]
Уравнение ( 11) завершает систему подлежащих решению конечно-разностных уравнений. [10]
В работе И. Г. Петровского доказывается, что строящаяся последовательность решений конечно-разностных уравнений сходится к гармонической функции, принимающей граничные значения в регулярных граничных точках. [11]
Поэтому становится очевидной необходимость разработки таких итерационных схем решения конечно-разностных уравнений химической кинетики, в которых обеспечивается точное выполнение законов сохранения на каждой итерации и, следовательно, малые концентрации вычисляются с заданной относительной точностью. Напомним, что законы сохранения являются точными интегралами уравнений кинетики. [12]
Последнее обстоятельство является важным, так как, чтобы в результате решения конечно-разностных уравнений получить зависимость числа Нуссельта от числа Рейнольдса, эти уравнения должны быть справедливы для областей, примыкающих к стенкам. А там вклад турбулентности в переносные свойства потока может лишь ненамного изменять их по сравнению с ламинарным течением. Для таких условий, как уже отмечалось выше, модели турбулентности наименее разработаны, поэтому возможность получить указанным способом формулы для интенсивности теплоотдачи сильно ограничена. [13]
В то же время отметим, что применение итерационной схемы Ньютона для решения конечно-разностных уравнений (7.45) не обеспечивает выполнение законов сохранения на промежуточных итерациях. Показано, что выполнение законов сохранения с заданной относительной точностью еще не гарантирует того, что концентрации при этом будут находиться с такой же относительной точностью. Особенно неточно при этом могут находиться концентрации веществ, содержание которых в смеси мало. Поэтому чтобы гарантировать заданную относительную точность расчета всех концентраций ( в том числе и токсичных), надо следить за тем, чтобы с необходимой для этого точностью удовлетворялись в первую очередь те из уравнений (7.45), которые соответствуют наименьшим компонентам. Кроме того, отмечено, что сходимость итерационных методов, применяемых для решения (7.45), практически всегда улучшается, если значения ctn i во всех промежуточных итерациях точно удовлетворяют законам сохранения. [14]
Выбор временного слоя, по-видимому, имеет решающее значение для обеспечения устойчивости решения конечно-разностных уравнений. Поэтому здесь следует ограничивать временной шаг. Проблемы устойчивости становятся особенно острыми при моделировании процесса многомерной фильтрации около одиночной скважины, где возникают высокие скорости вследствие сходимости потоков к забою. [15]