Решение - конечно-разностное уравнение
Cтраница 2
В нем решение конечно-разностной задачи введением специальной Р - трансформации сводится к решению обыкновенного конечно-разностного уравнения. Это решение записывается в замкнутой форме, представляющей дискретный аналог представления решений линейных дифференциальных уравнений при помощи интегральных представлений с использованием функции Грина. [16]
В последние годы появилось значительное число работ по применению дискретного метода Фурье для решения конечно-разностных уравнений. Следует отметить, что метод Фурье применялся для решения разностных уравнений и раньше, но, как правило, только в очень редких случаях. Это объясняется тем, что по количеству арифметических операций, необходимых для решения задачи, дискретный метод Фурье уступал другим методам, как прямым, так и итерационным. Дело в том, что большая часть работы приходилась на расчет системы собственных функций, а затем ча нахождение коэффициентов ряда Фурье и его суммы. [17]
 |
Сходимость конечно-разностйого метода. [18] |
Однако всегда следует помнить о существовании других мето - дов и при большом числе узлов необходимо быть готовым к применению альтернативных методов решения конечно-разностных уравнений. Для получения результата с требуемой точностью объем вычислений при большом числе узлов оказывается весьма значительным. Альтернативой методам простой итерации и релаксации при решении конечно-разностных уравнений может служить матричный подход, описываемый ниже. [19]
Людфорд, Полячек и Зегер [ 1953 ] придают особое значение другому ограничению на длины шагов: если h больше, чем толщина ударного слоя, то нельзя надеяться, что решение конечно-разностных уравнений даст хорошую аппроксимацию за фронтом ударной волны. Весьма вероятно, что результаты вне фронта ударной волны оказываются при этом мало затронутыми. [20]
Дифференциальное уравнение в результате такой замены приобретает вид уравнения, связывающего конечные разности искомой функции по времени и по координатам. Решение конечно-разностного уравнения сводится к выполнению несложных однотипных алгебраических операций при переходе от одного узла сетки к другому. [21]
Принцип работы модели основан на аналогии дифференциальных уравнений, описывающих гидродинамические и электрические стационарные процессы. Электрическая модель ( электроинтегратор) предназначена для решения конечно-разностных уравнений, которыми аппроксимируются дифференциальные уравнения типа Лапласа. [22]
Как следует из этого примера, при вычислениях на k - м шаге итерации никак не учитывались значения потенциала, найденные на ( k - 1) - м шаге. Поэтому целесообразно перейти от классического итерационного метода решения конечно-разностных уравнений, описанного в подразд. [23]
Алгоритм имеет следующую структуру. Вначале вводятся исходные данные, константы, величина шага по времени при решении конечно-разностных уравнений. Затем следует подпрограмма инициализации графического режима. Перечисленные блоки составляют общую часть программы. Далее следует циклическая часть, которая многократно повторяется в процессе расчета. Затем идет собственно расчет искомых величин. Расчет температур жидкой и газовой фаз в камере для двух рассматриваемых случаев осуществляется по одним и тем же конечно-разностным формулам. [24]
Однако такой анализ оказывается слишком поверхностным. Решения конечно-разностных уравнений ( 1), ( 2) могут быть выписаны в явном виде. [25]
В метеорологической литературе предполагается, что решение таких разностных систем, как (28.21), (28.22), представляет собой приближенное решение соответствующих дифференциальных уравнений, если только доказано, что вычисления устойчивы. Авторы не знают примера, который проиворечил бы этим предположениям, но это еще не удовлетворяет математика. Соотношение между устойчивостью и сходимостью решений конечно-разностных уравнений к решениям дифференциальных уравнений для некоторых линейных систем будет проанализировано при подходящих ограничениях в разд. [26]
 |
Сходимость конечно-разностйого метода. [27] |
Однако всегда следует помнить о существовании других мето - дов и при большом числе узлов необходимо быть готовым к применению альтернативных методов решения конечно-разностных уравнений. Для получения результата с требуемой точностью объем вычислений при большом числе узлов оказывается весьма значительным. Альтернативой методам простой итерации и релаксации при решении конечно-разностных уравнений может служить матричный подход, описываемый ниже. [28]
У многих итерационных процессов численного анализа сходимость столь медленная, что очень важная задача - найти способ ускорения сходимости, например, векторов x ( k к решению. И действительно, алгоритмы, ускоряющие сходимость последовательностей, составляют важную часть вычислительной математики. Метод последовательной сверхрелаксации ( SOR) является подобным алгоритмом для процесса Гаусса - Зейделя. Он может ускорять сходимость в такой степени, что весьма широко используется при решении конечно-разностных уравнений, моделирующих двумерные эллиптические краевые задачи. [29]
Конечно-разностная схема должна аппроксимировать исходную краевую задачу. Порядок аппроксимации разностной схемы указывает на то, с каким порядком точности разностные операторы приближают исходные дифференциальные уравнения к начальным и граничным условиям. Важным понятием является устойчивость разностных схем. Расчет по устойчивым схемам гарантирует, что при сгущении разностной сетки ошибки округления не приведут к большим погрешностям в искомом решении. Для достаточно широкого класса задач аппроксимация и устойчивость обеспечивают сходимость решения конечно-разностных уравнений к решению исходной системы дифференциальных уравнений. [30]
Страницы: 1 2