Cтраница 2
Подставив вычисленные коэффициенты в (V.22), получим приближенное аналитическое решение вариационной задачи. Если существует limpn при п - - оо, то этот предел будет точным решением рассматриваемой задачи. [16]
До появления электронных цифровых вычислительных машин ( ЭЦВМ) при научных исследованиях и технических расчетах точное решение рассматриваемой задачи часто не могло быть получено вследствие практической невозможности выполнения необходимых вычислений. Уровень научного исследования при этом значительно снижался, так как с целью упрощения вычислений приходилось отказываться от учета влияния большого количества факторов. [17]
Сюда относятся декартовы, полярные, биполярные, параболические, гиперболические и другие координаты. Аналогичные задачи в случае полосы изучались в работе [44], здесь же предложена схема построения точного решения рассматриваемых задач путем конформного отображения полосы на конечную область. [18]
Среди задач, с которыми приходится иметь дело в вычислительной практике, значительную часть составляют различные задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений. Такие задачи возникают как непосредственно при математическом моделировании многих реальных явлений, так и в качестве промежуточных при решении ряда более сложных математических задач. При этом, как правило, точное решение рассматриваемой задачи не удается выразить через элементарные функции. Доля задач, решаемых в явном виде, в случае обыкновенных дифференциальных уравнений ничтожно мала. Обычно приходится прибегать к помощи приближенных методов решения подобных задач. Такие методы в зависимости от того, ищется ли приближенное решение в аналитическом виде или в виде таблицы чисел, часто разделяют на аналитические и численные. Подобное разбиение методов на две группы основано на достаточно грубых признаках и носит общий характер. Конкретный вид метода существенно зависит прежде всего от типа решаемой дифференциальной задачи. В случае обыкновенных дифференциальных уравнений в зависимости от того, ставятся ли дополнительные условия в одной или в нескольких точках отрезка изменения независимой переменной, задачи обычно подразделяют на одноточечные ( задачи с начальными условиями, или задачи Коши) и многоточечные. Среди многоточечных задач наиболее часто в прикладных вопросах встречаются так называемые граничные задачи, когда дополнительные условия ставятся на концах рассматриваемого отрезка. [19]
Остается неясным, какая формула - ( 1 - 17) или ( 1 - 20) - дает результаты, более близкие к истине. Ответ на этот вопрос можно получить, сопоставляя результаты вычислений по приближенным ( 1 - 17), ( 1 - 20) и точным зависимостям. В настоящее время мы не видим возможности аналитически получить точное решение рассматриваемой задачи, поэтому было проведено численное решение с помощью ЭЦВМ. [20]
В настоящее время основным методом решения начальных, начально-краевых и краевых задач подземной гидродинамики является сеточный метод. Наряду с наиболее универсальным методом конечных разностей [22 - 24, 79, 137, 171, 182], обширный класс этих задач может быть реализован вариационными [14, 50, 74] и проекционными [115, 179 - 181] методами. Эти методы просты в использовании. Они позволяют строить приближенные аналитические решения с любой заданной точностью и становятся особенно эффективными, когда получение точного решения рассматриваемых задач не представляется возможным. [21]
Приведенный в монографии подход к исследованию начально-краевых задач для нелинейных уравнений с частными производными занимает своего рода промежуточное положение между теоремами о существовании и единственности обобщенных решений в специальных функциональных пространствах и численным построением приближенных решений, например разностными методами. Первый из этих подходов устанавливает разрешимость задач в достаточно общих постановках. Второй из отмеченных подходов дает числовые значения искомых зависимостей. Вместе с тем, не всегда имеются теоремы, подтверждающие факт хотя бы приближенного соответствия полученных значений точному решению рассматриваемой задачи. Построение в явном виде коэффициентов ряда, задающего решение задачи, позволяет использовать конечные отрезки ряда для приближенного построения решения с оценкой точности полученного приближения. [22]