Точное решение - краевая задача
Cтраница 2
Точное решение краевых задач удается получить лишь для немногих частных случаев. Поэтому общий способ их решения, в том числе и в САПР, заключается в использовании различных приближенных моделей. [16]
Такие решения, как уже известии, существуют. Однако математически точные решения краевой задачи оказались практически мало пригодными. Так, например, решение для сферической оболочки приводит к гипергеометрическим рядам, крайне сложно и громоздко и требует столь значительной счетной работы, что практически трудно применимо. [17]
Пусть Т - точное решение краевой задачи (5.1) и (5.2), а Т - приближенное. [18]
Физическое различие явлений проявится в том, за счет какого именно соотношения между размерными параметрами достигнуто одно и то же значение безразмерных величин. Найденная связь между безразмерными параметрами и дает прием моделирования явлений до нахождения точного решения краевой задачи: на одном явлении можно найти связь между безразмерными параметрами и затем использовать ее для любого другого явления из того же класса. Анализ условий подобия явлений дается теорией подобия, которая строится на трех основных теоремах. [19]
Предлагаемая вниманию читателей книга посвящена в основном описанию и обобщению двух широко распространенных аналитических методов решения краевых задач математической физики. Один из них - метод факторизации - лишь сравнительно недавно стал популярным и успешно используется для нахождения точного решения важных и интересных краевых задач электродинамики, акустики и теории упругих волн. К настоящему времени круг задач, поддающихся решению этим методом в его обычном виде, существенно исчерпан. Второй метод - метод сшивания ( или метод частичных областей), позволяющий получать решение краевых задач для сложных областей, состоящих из простых подобластей, - хотя и широко применяется, по-видимому, не полностью обоснован теоретически. В частности, до последнего времени не существовало ясных рекомендаций относительно численного решения бесконечных систем алгебраических уравнений, к которым приводит формулировка краевой задачи с помощью метода сшивания. [20]
Погрешностью аппроксимации схемы на точном решении называется сеточная функция ah Rh ( u), возникающая при подстановке точного решения краевой задачи в уравнение схемы. [21]
Для этого в соотношении an Rh ( u) - R ( u) под и следует подразумевать не обязательно точное решение краевой задачи, а произвольную достаточно гладкую функцию из некоторого функционального класса U. Покажем на примере того же уравнения (3.3), что порядок аппроксимации для точного решения может быть выше, чем для класса функций, обладающих такой же гладкостью. [22]
В противном случае схема называется неустойчивой. Ясно, что неустойчивая конечно-разностная схема противопоказана для вычислений, так как неизбежные незначительные ошибки, например погрешности округлений, могут создать большие отклонения от точного решения краевой задачи и привести к результатам, не имеющим ничего общего с действительностью. [23]
 |
Решение уравнения теплопроводности методом сеток. [24] |
При использовании конечно-разностной схемы для решения краевой задачи возникает важный вопрос об устойчивости такой схемы. В противном случае схема называется неустойчивой. Ясно, что неустойчивая конечно-разностная схема противопоказана для вычислений, так как неизбежные незначительные ошибки, например, погрешности округлений, могут создать большие отклонения от точного решения краевой задачи и привести к результатам, не имеющим ничего общего с действительностью. [25]
 |
Число Тейлора Т Wf. [26] |
При малых скоростях вращения ( Т T w) неустойчивость обусловлена монотонными возмущениями, и на пороге неустойчивости возникает стационарная конвекция. При достаточно больших скоростях вращения ( Т Т т) за неустойчивость ответственны колебательные возмущения; при увеличении разности температур на смену равновесию приходит конвекция в виде стационарных колебаний. Проведенный анализ относится к случаю слоя со свободными границами. Для других граничных условий найти точное решение краевой задачи для амплитуд возмущений не удается. Чандрасекар с помощью вариационного метода нашел приближенное решение для случаев, когда одна граница свободная, а другая твердая, и для обеих твердых границ. [27]
Но не следует забывать, что надо, кроме того, удовлетворить еще краевому условию на правом конце. При заданных свойствах поверхности теплоподвода S и при ограниченном числе гармоник, которые фактически могут быть реализованы, среди найденных гармоник может не оказаться такой, которая одновременно точно удовлетворяла бы и краевому условию на правом конце. Поэтому все последующие рассуждения справедливы для реальных систем лишь в первом приближении. Они дают тенденцию поведения колебательной системы, а не точное решение краевой задачи. Это замечание следует постоянно иметь в виду при чтении настоящей главы. [28]
Страницы: 1 2