Cтраница 3
С [ R X Rn х R, R ]; x ( t) x ( t, t0, x0) - любое решение системы (4.1.1), существующее на интервале [ tu, оо), определим следующим образом. [31]
В том, несколько более частном, случае, когда соотношения (33.26) являются равенствами и выполнены остальные требования теоремы 33.4, можно утверждать, что не только для любого решения системы (33.1) имеют место оценки (33.28), если такое решение существует, но и решения системы уравнений (33.1) существуют. [32]
Отсюда и из теоремы 2.5 следует, что тогда при любом е1 система (13.29) диссипативна и, более того, существует число а, не зависящее от е, такое, что любое решение системы (13.29) при возрастании времени попадает в цилиндр д 2 - ( - у2 а2 и при дальнейшем возрастании времени его не покидает. [33]
G - О-При решении поставленной задачи основное затруднение возникло при выяснении аналитической природы функций, описывающих решения, и при аналитическом представлении этих решений. Было показано, что любое решение системы ( 1) выражается в общем случае через гиперэллиптические функции. [34]
Так как в этом случае уравнение (6.46) не имеет состояний равновесия, то такие резонансные уровни естественно назвать проходимыми. Действительно, в этом случае, согласно (6.44) при достаточно малых / л функция и знакоопределена и, следовательно, любое решение системы (6.29), проходящее в начальный момент через точку окрестности t / M, за конечное время покинет эту окрестность. [35]
Взятому элементу ф 6 Ф и величине tQ 0 может, вообще говоря, отвечать не одно решение, обладающее указанными выше свойствами. Однако будем рассматривать только те решения системы (5.2), которые обладают указанными свойствами. Если любое решение системы (5.2) определено при t / о т совокупность уравнений (5.2) определяет в пространстве Ф общую систему. [36]
Пусть система уравнений (3.161) допускает нулевое решение. Тогда интегральное многообразие Gx решений, притягивающихся при t - - - оо к нулевому решению, образует интегральное многообразие соответствующих решений, содержащих нулевое решение. С помощью замены переменных любое решение системы (3.161) можнс принять за нулевое и использовать теорию нелинейных проекторо. Рассмотрим множество всех интегральных мнопюбр зш соответствующих решений. [37]
Мы изложили наиболее простую часть теории Ляпунова. Существуют функции Ляпунова, производные которых в силу системы удовлетворяют более слабому условию, они не обязательно отрицательны, а только не положительны. Подчеркнем главное - если найдена та или другая функция Ляпунова, то вопрос об устойчивости нулевого решения нелинейной системы решен, а устойчивость любого решения системы можно свести к исследованию устойчивости нулевого решения. Поэтому, несмотря на то, что отыскать функцию Ляпунова очень нелегко, поскольку общих методов ее нахождения не существует, поиску функций Ляпунова, разработке теории устойчивости, основанной на исследовании этих функций, посвящены сотни книг и статей многочисленных исследователей. Так, например, только в небольшой книге Е. А. Барбашина [9] даны ссылки на 190 работ 128 авторов, посвященных этим функциям. [38]
Пусть у нас имеется такое уравнение. В адиабатическом пределе исходное нелинейное динамическое уравнение превращается в гамильтонову систему линейных уравнений. Тогда наш принцип состоит в том, что вблизи любого решения адиабатической га-мильтоновой системы найдется настоящее решение. [39]