Cтраница 2
Это очевидно из следующих простых соображений. Общее решение уравнений движения содержит 2s произвольных постоянных ( см. стр. Поскольку уравнения движения замкнутой системы не содержат времени явно, то выбор начала отсчета времени совершенно произволен, и одна из произвольных постоянных в решении уравнений всегда может быть выбрана в виде аддитивной постоянной о во времени. [16]
Это очевидно из следующих простых соображений. Общее решение уравнений движения содержит 2s произвольных постоянных ( см. с. Поскольку уравнения движения замкнутой системы не содержат времени явно, то выбор начала отсчета времени совершенно произволен, и одна из произвольных постоянных в решении уравнений всегда может быть выбрана в виде аддитивной постоянной to во времени. [17]
Вместе с тем отметим также следующее. Построению общих решений уравнений движения, как и в случае статических задач, уделяется очень большое внимание. Работы по построению новых представлений несомненно важны с точки зрения исследования структуры уравнений динамики упругого тела. Од - - нако если проанализировать полуторавековой исторический опыт, то окажется, что роль таких общих представлений при фактическом решении граничных задач теории упругости весьма мала. [18]
В первом и во втором примерах мы найдем общее решение уравнений движения, а в третьем примере воспользуемся теоремой Ляпунова. [19]
Существенно, что это не ограничивает класс допустимых движений бесконечной струны, в отличие от случая конечной струны с двумя массивными концами. После выбора такой параметризации рассматриваемая задача полностью линеаризуется и в явном виде удается получить общее решение уравнений движения и граничных условий. [20]
Функции R та S зависят лишь от двух постоянных: h и а, между тем общее решение уравнений движения Лагранжа или Гамильтона для системы с двумя степенями свободы должно содержать четыре постоянные. Выясним значение двух опущенных постоянных, а также установим, почему они играют второстепенную роль в теории классификации траекторий. [21]
Линейные преобразования, выполняемые для приведения к каноническому виду кинетической и потенциальной энергий, не отражаются на главных частотах. Это утверждение, с одной стороны, основывается на общей теории квадратичных форм, а с другой - вытекает из теории линейных дифференциальных уравнений. Действительно, непосредственно видно, что, построив общее решение системы дифференциальных уравнений Лагранжа второго рода в координатах 6j, можно найти общее решение уравнений движения в исходных координатах QJ, применяя формулы линейного преобразования координат. [22]
Практически во всех проинтегрированных задачах известные первые интегралы оказались либо рациональными функциями, либо полиномами. Поэтому они продолжаются в комплексную область изменения фазовых переменных р, q как однозначные голоморфные или мероморфные функции. Однозначный гамильтониан порождает комплексифицированную гамильтонову систему. При этом решения, как функции комплексного времени ( или некоторой вспомогательной переменной), часто оказываются ме-роморфными. В качестве примеров можно указать задачу Якоби о движении точки по трехосному эллипсоиду, волчок Ковалевской, случай Клебша в задаче о движении твердого тела в идеальной жидкости. Более того, исследования Ковалевской и Ляпунова но классической задаче о вращении тяжелого волчка показали, что общее решение уравнений движения представляется однозначными функциями времени только в случаях, когда существует дополнительный полиномиальный интеграл. В связи с этим возникла интересная задача о соотношении между существованием однозначных голоморфных интегралов и ветвлением решений в комплексной плоскости времени; ее постановка восходит к Пенлеве. [23]