Cтраница 1
Общее решение линейного уравнения л-го порядка с правой частью () слагается из общего решения соответствующего ему уравнения без правой части () и какого-либо частного решения самого уравнения. Доказательство этого проводится точно так же, как и для уравнений второго порядка. [1]
Общее решение линейного уравнения с правой частью получается из общего решения соответствующего уравнения без правой части с помощью квадратур. [2]
Общее решение линейного уравнения ( 113) теперь можно получить с помощью преобразования Фурье. [3]
Общее решение линейного уравнения с правой частью получается из общего решения соответствующего уравнения без правой части с помощью квадратур. [4]
Общее решение линейного уравнения - го порядка с правой частью () слагается из общего решения соответствующего ему уравнения без правой части () и какого-либо частного решения самого уравнения. Доказательство этого проводится точно так же, как и для уравнений второго порядка. [5]
Найдем общее решение линейного уравнения ( 8), избавившись предварительно от члена с первой производной. [6]
Какой вид имеет общее решение линейного уравнения без правой части. [7]
Какой вид имеет общее решение линейного уравнения второго порядка без правой части с постоянными коэффициентами при действительных и различных корнях характеристического уравнения. [8]
Как может быть составлено общее решение линейного уравнения без правой части с постоянными коэффициентами порядка п в зависимости от корней характеристического уравнения. [9]
Несмотря на то, что в настоящее время общее решение линейного уравнения гиперболического типа всегда может быть найдено-либо методом Римана, либо численно, пользуясь сеткой характеристик - методы Эйлера сохраняют большое практическое значение. Дело в том, что метод Римана требует применения квадратур, выполняемых, как правило, только численно. В то же время так называемую функцию Римана, входящую в это решение, чаще всего найти трудно. С другой стороны, метод сеток, будучи численным, не дает решения в виде общих формул и часто также очень трудоемок. Напротив, решения Эйлера требуют лишь элементарных, мало трудоемких операций и дают результат в явном виде. А, как мы видели, ряд практически важных задач сводится хотя бы приближенно к уравнениям, допускающим решение методами Эйлера. Этим объясняется то обстоятельство, что некоторые из этих методов были вновь открыты современными нам авторами, не знакомыми с Интегральным исчислением Эйлера. [10]
Не существует общих методов для нахождения в конечном виде общего решения линейного уравнения с переменными коэффициентами. Однако для уравнения с постоянными коэффициентами такой метод существует. Он будет изложен в следующем параграфе. Для случая же уравнений с переменными коэффициентами в главе XVI Ряды будут указаны некоторые приемы, которые дадут возможность находить приближенные решения, удовлетворяющие определенным начальным условиям. [11]
Не существует общих методов для нахождения в конечном виде общего решения линейного уравнения с переменными коэффициентами. Однако для уравнений с постоянными коэффициентами такой метод существует. Он будет изложен в следующем параграфе. Для случая же уравнений с переменными коэффициентами в главе XVI Ряды будут указаны некоторые приемы, которые дадут возможность находить приближенные решения, удовлетворяющие определенным начальным условиям. [12]
Оператор A ( V, t) назовем оператором вязкоупругого равновесия, Для построения общих решений линейных уравнений механики деформируемого твердого тела важную роль, как было показано в предыдущих главах для задач теории упругости, играют соотношения взаимности, связывающие два произвольных поля перемещений в данном теле. [13]
КАСКАДНЫЙ МЕТОД, метод Л а л jf а аТ - метод теории дифференциальных уравнений с частными производными, позволяющий в нек-рых случаях находить общее решение линейного уравнения с частными производными гиперболич. [14]
Для проверки правильности найденного общего и особых решений или решения задачи Коши простейших дифференциальных уравнений полезно использовать известную аналитическую структуру общего решения и возможный аналитический вид особых решений, а также известный характер поведения решений. Так, общее решение линейного уравнения любого порядка является линейной функцией от произвольных постоянных. Если все коэффициенты линейного уравнения непрерывны, то оно не имеет особых решений. Всякое решение линейного уравнения определено во всем интервале непрерывности коэффициентов, содержащем начальное значение независимой переменной, и может обращаться в бесконечность только в точке разрыва хотя бы одного из коэффициентов этого уравнения. Если коэффициенты линейного уравнения голоморфны в точке х, то радиус сходимости степенного ряда, представляющего любое решение, голоморфное в точке ха, не меньше, чем наименьший из радиусов сходимости степенных рядов, представляющих коэффициенты самого уравнения в окрестности этой точки. [15]