Cтраница 1
Наименьшее решение этих уравнений является языком, порождаемым грамматикой. [1]
При этом выше нижней функции всегда оказывается наименьшее решение, а ниже верхней функции - наибольшее. Единственность решения, вообще говоря, не имеет места. [2]
Применяя полученный результат к системе уравнений, наименьшее решение системы можно находить последовательно, исключая неизвестные из уравнений. [3]
Допустим ( р, g) является наименьшим решением. Для условия ( 1) отметим, что g должна определяться во всей области D ( /) - R ( /), но не должна определяться в другой области. Следовательно, / ( X) и fog ( X) должны быть тождественны или программа whiledo вычисляет по крайней мере одно неверное значение. [4]
Нужно еще уточнить, что мы понимаем под наименьшим решением или решением в наименьших целых положительных числах. Zi, в котором 2j имеет наименьшее возможное значение. Если же троек с наименьшим значением zl будет несколько, то мы выберем из них ту, в которой xl имеет наименьшее значение и именно эту тройку будем считать наименьшей. Из этой наименьшей в указанном смысле тройки мы и будем исходить в наших рассуждениях; конечно, эта тройка будет основной. [5]
По определению символом g 1 ( т) обозначается наименьшее решение указанного уравнения. Вводим формулу 9t ( a, 6; р), выражающую следующие требования: в) совокупность Нр элементов х, удовлетворяющих условию рх х, есть подкольцо; б) элементы а, Ъ принадлежат Rp в) в Rp формула 91 ( а, Ь) истинна. [6]
При выполнении условия ( 1) ( g, ft) является наименьшим решением, потому что каждый элемент из g и h необходим, чтобы ( g, h) было решением. [7]
Это справедливо вследствие того, что функции, определенные исходным множеством уравнений рекурсии, являются наименьшими решениями этих уравнений, заданных наименьшими фиксированными точками соответствующего множества функциональных уравнений. Поскольку все преобразованные уравнения получаются последовательной подстановкой вместо подвыражений, присутствующих в существующих уравнениях, равных выражений, эти решения должны также удовлетворять и результирующему множеству уравнений. Другими словами, они являются также и решениями множества уравнений, определенного преобразованными функциями, но не обязательно наименьшими решениями этих уравнений. Таким образом, определенная преобразованными уравнениями функция слабее ( в смысле связанного функционального пространства), чем соответствующая функция, определенная исходными уравнениями. [8]
Алгебраические преобразования по правилам Р1 - Р4 покажут, что Л й [ 6 - В ] есть наименьшее решение уравнения X А [ б - X ] U В. [9]
Я Л [ б ч - Jf ] U В, то А б [ 6 - В ] есть наименьшее решение для X. [10]
Кроме того, каждый элемент из р, g, h использован в этом вычислении, поэтому ( р, g, h) является наименьшим решением. [11]
Мы видим, что ( р, g, h) является меньшим решением, чем ( р1, g, h), и что ( р, g, h) есть наименьшее решение, если не существует другого решения, меньшего, чем полученное. [12]
Yd, Можно показать, что всякое решение (2.18) имеет вид ( хп, уп), где хп Ydyr ( x0 - i - Ydy0Y, n - натуральное число, ( Л0, Уо) - наименьшее решение. Это множеств является полем, которое обозначается K Q ( V d) и представляет собой векторное пространство разкеркссти 2 над Q. [13]
Система уравнений ( 1), вообще говоря, может иметь много решений. Рп является в некотором смысле наименьшим решением и определяется единственным образом. Затем укажем метод нахождения наименьшего решения, при котором компоненты его задаются с помощью выражений в алгебре операторов. Тем самым теорема будет доказана. [14]
Если на этой основной области нет целых точек, то уравнение 2 - Ду б не имеет решений; если же все целые точки на АВ суть coi, со2, - - СОА, то формулы со 0т, где т - произвольные целые рациональные числа, содержат в себе все решения этого уравнения. Априорная граница для этих наименьших решений в форме возрастающей функции от А возрастает, следовательно, конечно, весьма быстро с возрастанием А. [15]