Cтраница 1
Рингель и Янгс обсуждали эту проблему в Берлине летом 1967 г. и пришли к выводу, что если случай 2 представляется возможным решить до конца, используя индекс 2, то как взяться за случаи 8 и 11, совсем не ясно. В 1964 г. в Newsletter Янгс уже высказывал некоторые сомнения относительно этих случаев. [1]
В действительности теорема Рингеля является более точной. Теорема 4.1 позволяет определить структуру алгебры на. [2]
Противоположное неравенство устанавливается ( Рингель [3]) с помощью построения соответствующей укладки графа К. [3]
В начале 1967 г. Рингель нашел решение индекса 2 ( см. Янгс [9]) для п 125 2, где s нечетно. [4]
В действительности, как показал Рингель, здесь имеет место равенство. [5]
Пользуемся случаем выразить благодарность доктору Рингелю ( Вольфен) и доктору Вендероту ( Шварца) за ценные указания по составлению рукописи, профессору Берингеру за предоставление большого количества микрофотографий, руководителям ряда предприятий - завода искусственного волокна имени Вильгельма Пика ( Шварца), Агфа-фильмфабрик ( Вольфен), завода искусственного волокна имени Фридриха Энгельса ( Премнитц), а также предприятия ФФБ хемифазер унд фотохеми ( Вольфен) - за подготовленные и любезно предоставленные фотографии, использованные авторами в тексте. [6]
Аппаратура, аналогичная разработанной в Вольфене д-ром Рингелем и отличающаяся лишь в деталях, описана в статье Катушки - н о и И. [7]
Для полных двудольных графов соответствующий результат, менее трудоемкий, получил Рингель. [8]
Доказательство этой теоремы основывается на рассуждениях, аналогичных рассуждениям в теореме Рингеля. Доказательство следующей теоремы имеет совершенно другую природу. [9]
Хотя есть основания считать, что проблема была хорошо известна, первые опубликованные попытки ее решения в нашем столетии были сделаны Рингелем [4] в 1952 г. Он доказал, что хроматическое число % ( SP) равно максимальному числу соседних областей на Sp, т.е. наибольшему из таких целых чисел v, что на Sp существует ка () та, v областей которой соседствуют друг с другом. [10]
Проблема добавления соседства тривиальна, если п 2 5 ( mod 12), и хотя при п 10 ( mod 12) появляются трудности, Рингель [7] решил проблему и в этом случае. [11]
Это был первый случай, решенный полностью. В 1961 г. Рингелю [7] удалось решить случаи 7, 10 и 3 - именно в таком порядке. [12]
В 1890 г. Хивуд выдвинул гипотезу, что данное неравенство в действительности является равенством. Окончательно это было доказано в 1968 г. Рингелем и Янгсом после долгого и упорного труда. [13]
В 1974 г. Ауслендер дал другое доказательство, применимое к артиновым алгебрам. Их результат был обобщен на произвольные конечномерные алгебры Рингелем. Однако работа Рингеля до сих пор не опубликована. Большая часть этой главы посвящена доказательству первой гипотезы Брауэра - Тролла. [14]
Тому, кто интересуется в основном чистой теорией графов, советуем посмотреть книгу Харари [1], которая представляет собой целый кладезь всевозможных сведений и является превосходным справочником. Стоит также прочитать работы Муна [7] о деревьях, Оре [5] о планарности и проблемах раскрашивания и Рингеля [16] о задачах, связанных с родом графа. Последняя книга обязательна для всех, кто хочет серьезно заняться теорией потоков в сетях. [15]