Cтраница 2
Другими словами, кривые рода нуль бирационально эквивалентны прямой. Уникурсальные кривые имеют важные применения. [16]
При этом роль кривых рода gi играют поверхности, у к-рых нек-рая степень пКх канонич. В этом случае бирациональное вложение дает уже канонический класс Ку. [17]
Задача компактификации многообразия модулей М заключается в нахождении естественного и полного ( проективного или компактного в теории над полем С) многообразия Af, содержащего М в качестве плотного открытого подмножества, а также в описании и геометрич. В примере 1) естественной компактификацией грубого многообразия модулей Mg кривых рода g 2 служит проективное многообразие модулей Mg стабильных кривых. [18]
Тогда для кривых рода 0 точки X ( О) находятся сравнительно легко, для эллиптич. X ( Q) не пусто), для кривых рода g 2 имеется пока не доказанная ( 1977) Морделла гипотеза о том, что X ( Q) конечно. [19]
Уже в этих работах выявилась характерная и для дальнейших исследований И.Р.Шафаревича особенность: в большинстве своих работ он подходит к геометрии как теоретико-числовик и, наоборот, к теории чисел как геометр. Вдохновляясь классическими теоремами Эрмита и Минковского, И.Р.Шафаревич предположил, что число, с точностью до изоморфизма над k, кривых X с заданными инвариантами g k и S конечно. Если же множество S1 пусто и k - Q, то кривых рода д 0 с такими инвариантами не существует. [20]
Род кривой не характеризует полностью бирацио-нальный класс А. В случае, когда / с есть ноле комплексных чисел С, множество классов изоморфных друг ДРУГУ эллиптич. Пространство H / G имеет строение аналитич. Классы бирационально эквивалентных кривых рода 1 описываются точками некоторого алгебраич. [21]
На векторном пространстве 5 / 25 определена невырожденная билинейная форма со значениями в F2 - Ввиду четности 5, эта форма кососимметрическая и, значит, 5 / 25 содержит изотропное подпространство половинной размерности. По конструкции М АГ ( 2), где N - некоторая целочисленная решетка, и простой подсчет дискриминантов показывает, что N - унимоду-лярна. Вектор / ei eo определяет пучок кривых рода I, для которого очень легко проверяются условия 2) и 3) Предложения. Однако такое доказательство требует ссылки на теорему из § 4 во всей общности. [22]
Во-первых, они позволяют решить проблему униформизации. Этот факт был давно осознан Клейном и Пуанкаре, но получил прямое и полное доказательство лишь в девяностые годы в работах Пуанкаре. Вейерштрасс в своей теории функций при определении аналитического ( и, в частности, алгебраического) образа ( х, у) был вынужден использовать в каждой точке особое представление х х ( t), у у ( t) с локально униформи-зующим t, соответствующим рассматриваемой точке. В теории униформизации оба эти подхода требуется слить воедино, для чего переменные х, у аналитического образа во всем диапазоне их изменения необходимо представить однозначными аналитическими функциями униформизующего параметра t, принимающего значения на однолистной комплексной плоскости. Вейерштрасса или Римана, что давно было показано для алгебраических кривых рода 1, для которых проблему униформизации решают эллиптические функции. Впрочем, речь идет о теории, именно сейчас переживающей пору бурного развития. [23]
Удивительно, насколько продвинулась теория за 8 лет. Мы встречаемся здесь с понятием однозначного ( теперь: бирациональ-ного) преобразования алгебраических кривых и с ясным пониманием того, что основная задача состоит в изучении кривых с точностью до таких преобразований. Определен род ( это название принадлежит Клебшу), причем чисто геометрически - через степень кривой и кратности ее двойных точек. Так же геометрически доказана теорема Римана-Роха, откуда следует, что кривые рода О параметризуются рациональными функциями, а кривые рода 1 - эллиптическими. Построено якобиево многообразие ( в современной терминологии) кривой. Все изложение вполне синтетическое ( мы сказали бы: над произвольным полем), но связь с топологическим и аналитическим подходом Римана также всегда прослеживается. И, конечно, эта теория прилагается к большому числу конкретных геометрических задач. [24]
Удивительно, насколько продвинулась теория за 8 лет. Мы встречаемся здесь с понятием однозначного ( теперь: бирациональ-ного) преобразования алгебраических кривых и с ясным пониманием того, что основная задача состоит в изучении кривых с точностью до таких преобразований. Определен род ( это название принадлежит Клебшу), причем чисто геометрически - через степень кривой и кратности ее двойных точек. Так же геометрически доказана теорема Римана-Роха, откуда следует, что кривые рода О параметризуются рациональными функциями, а кривые рода 1 - эллиптическими. Построено якобиево многообразие ( в современной терминологии) кривой. Все изложение вполне синтетическое ( мы сказали бы: над произвольным полем), но связь с топологическим и аналитическим подходом Римана также всегда прослеживается. И, конечно, эта теория прилагается к большому числу конкретных геометрических задач. [25]
В каждом бирациональном классе существует единственная с точностью до изоморфизма полная неособая кривая. Он равен размерности пространства регулярных дифференциальных форм на X и принимает любые неотрицательные целые значения. Значение 7 0 характеризует рациональные кривые, это кривые, накрываемые проективной прямой Pk. Кривые рода д 1 называются эллиптическими кривыми. Классы изоморфизмов всех кривых фиксированного рода д 5 2 образуют неприводимое алгебраич. [26]