Рождение - предельный цикл
Cтраница 2
Во втором параграфе комментируемой статьи исследуется вопрос о рождении комплексных предельных циклов при таких возмущениях. Оказывается, что задача о рождении циклов сводится к исследованию нулей абелева интеграла, рассматриваемого как функция параметра. Это исследование лежит на границе алгебраической геометрии и дифференциальных уравнений. Возмущении интегрируемых уравнений рассматриваются в § 3 комментария. [16]
В трехмерном фазовом пространстве существует 8 типов простейшие бифуркаций, приводящих к рождению предельного цикла из положения равновесия или его стягиванию в положение равновесия. [17]
Физически амплитуда колебаний не может неограниченно нарастать: она ограничивается законами сохранения. Поэтому, если принятая математическая схема адэкватно описывает физическую картину явлений, то возникновение неустойчивого фокуса должно привести к рождению предельного цикла. Одна из замкнутых интегральных кривых, существовавших на фазовой плоскости для консервативной системы, превращается при этом в предельный цикл. Раскачка колебаний приводит к тому, что амплитуда их асимптотически стремится к амплитуде автоколебания, описываемого на фазовой плоскости предельным циклом. [18]
Вообще говоря, предельный цикл может рождаться и при устойчивом фокусе. Но тогда внутри устойчивого предельного цикла должен существовать неустойчивый предельный цикл, окружающий устойчивый фокус. Подобный случай рождения предельного цикла при устойчивом фокусе был рассмотрен в работе [2] применительно к ламповому автогенератору. Не исключено, что аналогичный случай рождения предельного цикла может встретиться и в транзисторном высокочастотном автогенераторе. Вопрос о рождении и существовании предельных циклов в таком автогенераторе представляет собой самостоятельную задачу и здесь не рассматривается. [19]
 |
Характерная реализация глобальной температуры воздуха при различных начальных условиях 1 ( 0 0 5 СО, 0 49999 ( 2. [20] |
Очевидно, что для корректного описания поведения климатической системы необходим вероятностный подход. В рассмотренном выше механизме возникновения хаоса существенную роль играет большое время релаксации речного стока. Однако существует механизм неустойчивости и рождения предельного цикла, обусловленный только процессами выпадения осадков и испарения влаги и их зависимостью от температуры. [21]
В вещественном случае па функцию / налагается сильное требование: она имеет в точке с простой нуль. Зато и утверждение более сильно: рождающийся предельный цикл груб. Требование I фО недостаточно для рождения вещественного предельного цикла при вещественном аналитическом возмущении а (): комплексный цикл, который рождается в силу комплексного варианта критерия, может сразу уйти в комплексную область и пикак не проявится на вещественной плоскости. [22]
Вообще говоря, предельный цикл может рождаться и при устойчивом фокусе. Но тогда внутри устойчивого предельного цикла должен существовать неустойчивый предельный цикл, окружающий устойчивый фокус. Подобный случай рождения предельного цикла при устойчивом фокусе был рассмотрен в работе [2] применительно к ламповому автогенератору. Не исключено, что аналогичный случай рождения предельного цикла может встретиться и в транзисторном высокочастотном автогенераторе. Вопрос о рождении и существовании предельных циклов в таком автогенераторе представляет собой самостоятельную задачу и здесь не рассматривается. [23]
В зависимости от величины / 3 маятник может иметь либо два, либо четыре положения равновесия. При ( 3 1 положения равновесия в 0, тг, - нижнее устойчиво, а верхнее неустойчиво. При п а устойчивый фокус в положениях равновесия в 0, тг переходит в сложный фокус первого порядка. При дальнейшем уменьшении п эти положения равновесия теряют устойчивость с мягким рождением предельных циклов, что означает возникновение в системе автоколебаний с частотой д / 1 / 3 около нижнего и с частотой 1 / 1 - / 3 около верхнего положения равновесия. [24]
Мэй [1.81] пришел к выводу, что в флуктуирующей среде популяция погибла бы при любом среднем значении параметра мальтусовского роста, если флуктуации этого параметра достаточно сильны. Иначе говоря, точка перехода от выживания популяции к ее гибели ( в рассмотренной Мэем простой модели такой переход происходит при детерминированных условиях, когда смертность в точности компенсирует рождаемость) начинает зависеть от дополнительного параметра, соответствующего дисперсии флуктуации среды. Именно эта зависимость и приводит к смещению точки перехода. Приблизительно в то же время аналогичное явление было описано Ганом, Нитцаном, Ортолевой и Россом [1.82] для рождения предельного цикла в некоторой ферментативной колебательной системе. [26]
Список типичных бифуркаций потоков на плоскости ( точнее, сфере) завершается еще одной бифуркацией, связанной с бифуркацией седло-узла. У последнего как бы сохраняются три из четырех сепаратрис седла. Две из них делят малую окрестность седло-узла на две половины, в одной из которых траектории ведут себя так же, как возле узла, а в другой - как возле седла. В последней полуокрестности расположена и третья сепаратриса. Может случиться, что эта сепарафиса, описав петлю, попадает в первую полуокрестность и входит в седло-узел. При определенных типичных условиях исчезновение седло-узла сопровождается рождением предельного цикла из этой замкнутой петли. [27]
Страницы: 1 2