Cтраница 3
Основой нашего рассмотрения является система Лоренца, однако теперь синергетические параметры характеризуют не сыпучую среду, а ансамбль лавин, который в рамках подхода Эдвардса [40, 41], обобщенного на неаддитивную систему, представляется по аналогии с термодинамической системой. Это позволяет описать изменение размера лавины, неаддитивной сложности ( complexity) и кинетической энергии сыпучей среды. В рамках синергетического подхода указанные степени свободы играют роль параметра порядка, сопряженного поля и управляющего параметра соответственно. [31]
Наиболее интересен, конечно, случай, когда имеется целая линия точек непрерывных переходов, и в дальнейшем мы будем подразумевать под фазовыми переходами второго рода только этот случай. Сюда относятся, в частности, переходы, связанные с появлением или исчезновением магнитной структуры. Это обстоятельство является следствием симметрии по отношению к изменению знака времени. Термодинамический потенциал тела не может измениться при этом преобразовании, между тем как магнитный момент ( играющий здесь роль параметра порядка) меняет знак. Ясно поэтому, что в таких случаях разложение Ф не содержит никаких вообще членов нечетных порядков. [32]
Из приведенных в предыдущем разделе данных следует, что золотая пропорция является универсальным критерием устойчивости структуры, ее гармонии и красоты, как в живой так и в неживой природе. Ответ дает синергетика, являющаяся теорией самоорганизующихся структур. В первой главе были рассмотрены основные принципы синергетики, представления о термодинамической и динамической самоорганизации структур, а также проанализирована роль параметра порядка в процессах самоорганизации. Параметр порядка контролирует переходы термодинамическая - динамическая - термодинамическая самоорганизация. Эти переходы являются неравновесными фазовыми переходами, в процессе которых самоорганизуются новые устойчивые структуры, что контролируется золотой пропорцией, являющейся кодом устойчивости структуры, генетически заложено природой. [33]
Пункт 2.2 посвящен учету аддитивных шумов для компонент скорости и наклона песка. Показано, что возрастание интенсивности флуктуации приводит к появлению лавины даже в отсутствие накачки энергии, причем шум управляющего параметра играет критическую роль. Флуктуационный режим такого рода соответствует случаю h - 0 [30], при котором распределение параметра порядка имеет степенной вид с целочисленным показателем. Лоренца, позволяющее естественным образом описать реальную картину образования лавины. Такое представление достигается использованием дробной системы Лоренца, где роль параметра порядка играет размер лавины, сопряженное поле сводится к неаддитивной сложности ( complexity), а несохраняющаяся энергия является управляющим параметром. Найдена фазовая диаграмма, определяющая различные области поведения системы в зависимости от интенсивностей шумов указанных величин: В результате оказывается, что распределение (1.71), присущее СОК, обеспечивается флуктуациями энергии движущихся песчинок. Сопоставление решений указанных уравнений приводит к установлению нетривиальных связей между показателем т в распределении (1.71), фрактальной размерностью D фазового пространства, характеристическим показателем мультипликативного шума, числом уравнений, необходимых для представления самосогласованного поведения системы в режиме СОК, динамическим показателем г и параметром неаддитивности Цаллиса. [34]
Рассмотрим переход из ферромагнитного состояния в парамагнитное. Ферромагнитное состояние - такое, в котором находится вещество в магните. При этом магнитные моменты отдельных атомов имеют преимущественное направление - большинство магнитных моментов расположено вдоль оси магнита. По мере нагревания магнита тепловое движение все больше и больше разбрасывает магнитные моменты по разным направлениям, и при некоторой температуре средний магнитный момент атомов вдоль оси магнита обращается в нуль. Значит, вещество перешло в парамагнитное состояние, в котором магнитные моменты атомов ориентированы беспорядочно. При переходе из ферромагнитного состояния в парамагнитное роль параметра порядка играет среднее значение проекции магнитного момента на ось намагничивания. В точке перехода эта величина обращается в нуль и остается нулем после перехода в парамагнитное состояние. [35]
Найдены стационарные значения скорости течения песка и наклона его поверхности. С учетом флуктуации указанных величин построена фазовая диаграмма, определяющая области формирования лавины, равновесное и смешанное состояния. Последнее отвечает прерывистому режиму самоорганизуемой критичности и определяется интенсивностями флуктуации вертикальной компоненты скорости и наклона поверхности. Адекватное представление самоподобного поведения системы требует использования дробной обратной связи, существенно модифицирующей систему Лоренца. Для представления распределения по размерам лавин использована псевдотермодинамическая картина Эдвардса, в рамках которой самоорганизация приводит к отрицательной температуре. При этом используется дробная система Лоренца, где роль параметра порядка играет размер лавины, сопряженное поле сводится к неаддитивной сложности ( complexity), а несохраняющаяся энергия является управляющим параметром. Найдена фазовая диаграмма, определяющая различные области поведения системы в зависимости от интенсивностей шумов указанных величин. В результате оказывается, что самоподобное распределение, присущее самоорганизуемой критичности, обеспечивается флуктуациями энергии движущихся песчинок. Исследование стохастической системы показывает, что это распределение представляет, с одной стороны, решение нелинейного уравнения Фоккера-Планка, описывающего поведение неаддитивной системы, а с другой - отвечает дробному уравнению Фоккера-Планка для полетов Леви. Сопоставление решений указанных уравнений приводит к установлению связей между показателем распределения по размерам лавин, фрактальной размерностью фазового пространства, характеристическим показателем мультипликативного шума, числом уравнений, необходимых для представления самосогласованного поведения системы в режиме самоорганизуемой критичности, динамическим показателем и параметром неаддитивности Цаллиса. [36]