Cтраница 2
Во-вторых, из теоремы следует, что произвольный отрезок натурального ряда неравномощен со всем натуральным рядом. Таким образом, ряд натуральных чисел бесконечен. Множество, равномощное с множеством натуральных чисел, называется счетно бесконечным. Элементы счетно бесконечного множества могут быть перенумерованы так, что любое натуральное число появится в качестве номера ровно один раз. [16]
Наиболее распространена номерационная система цифровых индексов. Она представляет собою ряд натуральных чисел от единицы до бесконечности. Основным достоинством номерационной системы является простота, что и способствовало ее широчайшему распространению. Номерационная система закрепляет последовательность расположения понятий, предметов, явлений, которую в случае нарушения легко восстановить путем расположения этих предметов по номерам. [17]
В системе математики имеются два обнаженных пункта, в которых она, может быть, соприкасается со сферой непостижимого. Это именно принцип построения ряда натуральных чисел и понятие континуума. Все остальное: переход от натуральных чисел к отрицательным и дробным, так же как и введение мнимый и гиперкомплексных величин, представляет собою задачу формальной логики, не таящую в себе уже никаких трудностей и загадок; мистическая дымка, долгое время обволакивавшая мнимые величины, окончательно рассеялась. Теория множеств надеется и в этих двух пунктах возвести прочную плотину и запрудить поток бесконечного, грозящий затопить в своем течении наш дух. [18]
Следовательно, факт вполне упорядоченности ряда натуральных чисел Кантор принимал как разумеющийся. [19]
Уже в этом случае доказательство становится очень сложным. Тем самым доказывается, что, рассматривая ряд натуральных чисел в качестве замкнутой совокупности существующих предметов, - как это я сделал в вышедшем в 1918 г. сочинении Континуум, - мы можем не бояться никаких противоречий. Только проведение WB или же попытки его осуществить раскрыли перед нашим взором в высшей степени запутанную логическую структуру математики, все взаимосплетение заключающихся в ней порочных кругов, относительно которых нельзя даже сразу сказать, не приведут ли они к грубым противоречиям. [20]
Однако поскольку в действительности разбиение чисел на группы происходит не столь просто, то можно поступить иначе: относить числа к той или иной группе не поодиночке, а сразу по нескольку чисел, идущих подряд. Исключение придется сделать лишь для начального отрезка ряда натуральных чисел: число 2 не может идти сразу же вслед за числом 1, а состоять из одного лишь числа 1 первая группа также не может, поскольку тогда нельзя было бы говорить ни о какой разности. [21]
Как же учатся считать в первом классе. Это очень важное число - во-первых, с него начинается ряд натуральных чисел, а во-вторых, каждое следующее число в этом ряде получается прибавлением единицы. И, пересчитывая любые предметы, мы именно так и поступаем: какой-то предмет объявляем первым, а затем с каждым новым предметом увеличиваем уже имеющееся число на единицу. [22]
Только что приведенные слова Кантора в какой-то мере подтверждают это: идея вполне упорядочения множества трансфинитных кардинальных чисел связана у него с вполне упорядоченностью ряда натуральных чисел. Эта связь оказывается у него даже более тесной. [23]
Математические теоремы частью относятся ко всей совокупности натуральных чисел, частью же ко всей совокупности возникающих в результате актов свободного выбора становящихся последовательностей натуртльных чисел. Они относятся, следовательно, частью к простирающейся в бесконечность и порождаемой беспредельным развертыванием управляемого в своем раз-витии законом fc ряда натуральных чисел возможности, частью же к заложенной в самой сущности становящейся числовой последовательности бесконечной свободе все новых и новых ничем не детерминированных актов выбора, которая способна на каждом шагу остановить на произвольном месте начинающийся сызнова процесс развития ряда натуральных чисел. В природе самого дела заложено, что то узрение сущности, из которого проистекают общие теоремы, всегда основывается на полной индукции, на изначальной математической интуиции. Математика не является окаменелой и приносящей с собой окаменение схемой, как это часто думают профаны, нет, здесь мы находимся как раз в том узловом пересечении необходимости и свободы, которое составляет сущность самого человека. [24]
При рассмотрении числового множества можно числа, принадлежащие этому множеству, расположить в определенном порядке. Тогда имеет смысл говорить об упорядоченном множестве. Одним из примеров упорядоченного множества является ряд натуральных чисел. Если два упорядоченных множества содержат одни и те же элементы, но расположенные в разном порядке, то будем говорить, что эти упорядоченные множества отличаются порядком расположения элементов. [25]
В М с этим адресом связана цепочка отличающихся друг от друга символов. Тогда М соответствует доминантному полушарию, разлагающему на составные части те имена, которые другое полушарие ( моделируемое машиной М2) соотносит с целостными образами предметов. Число, в правом полушарии выступающее как единое целое - особый индивид, в левом предстает как элемент ряда натуральных чисел или как результат каких-либо вычислительных операций. [26]
Рассмотрим новое число - число нуль. Нуль не является натуральным числом и считается числом, предшествующим всем натуральным числам. Ряд натуральных чисел вместе с числом нуль называется расширенным натуральным рядом. [27]