Cтраница 2
Из этого определения следует, что проективное соответствие рядов второго порядка может быть, задано тремя парами соответственных точек. [16]
Далее теория проективных пучков второго порядка развивается в духе двойственной аналогии с теорией проективных рядов второго порядка. [17]
Точки пересечения Р2 и Q2 оси перспективности х с кривой k и являются двойными точками рядов второго порядка. [18]
Итак, мы доказали, что если кривая второго порядка имеет две действительные точки, то она представляет собою либо ряд второго порядка, либо пару прямых, различных или совпадающих. [19]
Но, как уже было сказано, двойных точек не может быть более двух, поэтому на прямой т не может быть более двух точек ряда второго порядка. [20]
При образовании ряда второго порядка с помощью проективных пучков ( Si) и ( 52) роль центров этих пучков St и52 отличалась от роли всех остальных точек ряда второго порядка. Покажем теперь, что этого отличия на самом деле нет и что любая точка ряда второго порядка может с-лужить центром одного из образующихся пучков. [21]
Подобным образом, если общий член ряда будет функцией второй степени, то вследствие постоянства А2Х ряд, происходящий отсюда, будет иметь постоянные вторые разности и, значит, будет рядом второго порядка; так будет и дальше: какой степени будет функция X, составляющая общий член, такого же порядка будет и ряд, порожденный ею. [22]
Так как центры этих пучков Л и В - произвольные точки данного ряда второго порядка, то теорема доказана. Любые две точки ряда второго порядка могут быть выбраны в качестве центров образующих пучков. [23]
Таким образом, на прямой m имеем два проективных ряда точек. Но тогда X является точкой ряда второго порядка. Следовательно, каждая двойная точка проективных рядов на носителе т является вместе с тем точкой ряда второго порядка. [24]
Предположим, что алгебраическая кривая второго порядка имеет по крайней мере две действительные точки. Докажем, что в этом случае она представляет собою либо ряд второго порядка, либо пару прямых, различных или совпадающих. [25]
Рассмотрим далее общую прямую t обоих пучков. Поэтому двойная прямая t также должна быть включена в состав ряда второго порядка. [26]
В самом деле, рассмотрим шестиугольник ADBSiCS2, противоположные стороны которого пересекаются в точках Х4, М, Х2, лежащих на одной прямой. Пять вершин этого шестиугольника A, D, В, Si, С определяют ряд второго порядка, которому они принадлежат. Тогда мы будем иметь шестиугольник ADBSiCS 2, вписанный в кривую второго порядка. [27]
При образовании ряда второго порядка с помощью проективных пучков ( Si) и ( 52) роль центров этих пучков St и52 отличалась от роли всех остальных точек ряда второго порядка. Покажем теперь, что этого отличия на самом деле нет и что любая точка ряда второго порядка может с-лужить центром одного из образующихся пучков. [28]
Формой, двойственной ряду второго порядка, является п у-чок второго порядка. Применяя принцип двойственности на плоскости, можно было бы сформулировать свойства пучков второго порядка как соответственные установленным в предыдущем параграфе свойствам рядов второго порядка. [29]
Для доказательстаа этого предложения возвратимся к чертежу, построенному при выводе теоремы Мак-лорена ( черт. Предположим, что подвижная точка С описывает ряд второго порядка ( кривую второго порядка), увлекая с собой касательную с. [30]