Cтраница 2
Соответствующая модификация для рядов с убывающими степенями обычно требует привлечения косвенных методов, связанных с представлением в виде комплексного интеграла, если такое представление существует. Если же такого представления нет, то следует свести задачу к численному сравнению в некоторой области, где как сходящиеся, так и асимптотические ряды могут быть вычислены непосредственно. [16]
С математической точки зрения введение граничной дифрагированной волны позволяет свести двумерный дифракционный интеграл к интегралу по контуру. Это преобразование облегчает асимптотическое вычисление поля. Действительно, мы уже научились получать асимптотические ряды для одномерных определенных интегралов, имеющих разрывы в подынтегральных выражениях. [17]
Для колонн, нижний конец которых может свободно перемещаться, использованы функции Бесселя. Для случая шарнирного закрепления концов применены функции Ломмеля. При рассмотрении очень длинной колонны, нижний конец которой может свободно перемещаться в горизонтальном направлении, использованы асимптотические ряды Хенкеля, а для случая шарнирного закрепления нижнего конца - функции Неймана. [18]
Первое доказательство существования решений типа уединенной волны для точных уравнений гидродинамики было дано М.А.Лаврентьевым [2], использовавшим развитые им же вариационные методы теории конформных отображений. Доказательство теоремы существования и единственности уединенной волны, данное К. О. Фридрихсом и Д. Г. Хайерсом [3], было уже основано на использовании асимптотических методов малого параметра и методов функционального анализа. В статье А. М.Тер-Крикорова [4] теорема Фридрихса и Хайер-са была обобщена для доказательства существования периодических волн, вырождающихся в уединенную при длине волны, стремящейся к бесконечности. В статьях [5, 6] А. М.Тер-Крикоровым была развита теория длинных волн в стратифицированной жидкости, вырождающихся в уединенную волну. Были построены асимптотические ряды по дробным степеням малого параметра и доказано существование точного решения, для которого эти ряды являются асимптотическими. Нужно сказать, что по каким именно степеням малого параметра строится асимптотический ряд, зависит от распределения плотности по глубине жидкости. В [6] был подробно исследован наиболее типичный случай. [19]
В 1944 - 1945 гг. вся теория устойчивости плоскопараллельных течений была критически пересмотрена Линем ( 1945), пересчитавшим заново основные примеры и уточнившим численные результаты Толмина и Шлих-тинга. Тем не менее из-за сложности применяемых при этом методов анализа асимптотического поведения решений уравнения (2.68) полученные результаты в некоторых отношениях долго еще нельзя было считать вполне окончательными. Дело в том, что используемые асимптотические ряды обычно имели особенность в точке 2, в которой U ( z) - с 0, в то время как исходное уравнение регулярно в этой точке. Последнее обстоятельство привело к появлению в 60 - х годах целого ряда математических исследований асимптотического поведения решений уравнений Орра-Зоммерфельда ( см., например, Шень ( 1964), Чень, Джозеф и Спэрроу ( 1966) и К. [20]