Cтраница 3
Полученное расширение было бы снова монотонным оператором, но это невозможно по условию. Итак, максимальный монотонный оператор обладает свойством замкнутости. [31]
Важная особенность релящюной алгебры состоит в том, что можно поименовывать отношения и атрибуты отношений, но нельзя поименовьюать отдельные значения в отличие, например, от QBE. Это связано с тем, что из-за свойства замкнутости, о котором шла речь выше, результатом каждой операции является отношение, а не целое число. [32]
Последнее обстоятельство не влияет, например, на свойство замкнутости траектории. [33]
К языкам, как и ко всяким множествам, могут быть применены различные операции. Прежде чем рассматривать операции над языками, определим свойство замкнутости множества. Говорят, что множество замкнуто относительно некоторой операции, если результат применения ее к любому элементу множества или к любой паре элементов содержится в этом множестве. [34]
Мы могли бы также доказать соответствующие теоремы о свойствах замкнутости функций ограниченной m - абстракции относительно объединения и композиции. [35]
Таким образом, контур Айв данном случае повторяет свойства ( 5-функции, выделяя ядро линейного преобразования. Следовательно, дельтовидный контур в классе сигналов, обладающих свойствами замкнутости, является аналогом 5-функции. Следует отметить, что при анализе замкнутых контурных сигналов он играет такую же роль, как и 5-функция при анализе обычных сигналов. Сигнал в виде дельтовидного контура замечателен тем, что он имеет наиболее сложную форму. Сложность формы сигнала понимается в данном случае как практически полное отсутствие корреляционной связи между отсчетами АКФ при любых значениях с. Степень сложности растет пропорционально увеличению размерности k контура А. [36]
Вещественное евклидово пространство представляет собой математическую модель, тесно связанную с другой, называемой векторной алгеброй, построенной на базе линейной алгебры с добавлением скалярного произведения. Дело в том, что скалярное произведение не обладает свойством замкнутости, так как при скалярном умножении оба вектора исчезают и образуется скаляр. [37]
Таким образом, контур Айв данном случае повторяет свойства ( 5-функции, выделяя ядро линейного преобразования. Следовательно, дельтовидный контур в классе сигналов, обладающих свойствами замкнутости, является аналогом ( - функции. Следует отметить, что при анализе замкнутых контурных сигналов он играет такую же роль, как и - функция при анализе обычных сигналов. Сигнал в виде дельтовидного контура замечателен тем, что он имеет наиболее сложную форму. Сложность формы сигнала понимается в данном случае как практически полное отсутствие корреляционной связи между отсчетами АКФ при любых значениях с. Степень сложности растет пропорционально увеличению размерности k контура А. [38]
Если U и V - операторы замыкания и выполняется VU С / У, то и оператор UV есть оператор замыкания. При этом если X - класс Q-алгебр, то ( UV) X есть наименьший среди содержащих X класс со свойством замкнутости относительно U и V одновременно. [39]
Из предыдущего следует, что векторная алгебра представляет собой линейную алгебру с добавлением скалярного и векторного произведений векторов, причем векторами являются направленные отрезки реального пространства, а скалярами действительные числа. Следовательно, векторная алгебра строится на модели вещественного евкли дова пространства с добавле - л нием векторного произведения, обладающего свойством замкнутости, которое характеризует алгебры. [40]
Последовательность (2.4) называется ортогональной, если ее корреляционная матрица (2.5) является диагональной, и ортонор-мированной, если ее матрица Грама (2.5) является единичной. Для системы случайных векторов (2.4) отнесение к тому или иному классу, задачу о наилучшем приближении к заданному случайному вектору, неравенство Бесселя, уравнение замкнутости, свойства замкнутости и полноты, сходимость рядов, свойства коэффициентов Фурье, разложение в биортогональные ряды и др. можно трактовать точно так же, как это сделано в § 7 главы I для систем многомерных векторов Абстрактного пространства, поскольку1 все, что справедливо для абстрактного пространства, остается справедливым и для его конкретной реализации. [41]
Сочетательное свойство имеет место для любых геометрических преобразований: рассуждения, приведенные выше для доказательства сочетательности движений, дословно переносятся на любые преобразования. Поэтому, для того чтобы некоторая совокупность S геометрических преобразований была группой ( относительно геометрического умножения), необходимо и достаточно, чтобы: 1) произведение любых двух преобразований этой совокупности принадлежало той же совокупности ( свойство замкнутости); 2) для каждого преобразования, произвольно избранного из совокупности 5, к этой же совокупности принадлежало обратное преобразование. [42]
Таким образом, для определения точки сочленения выхода из блока достаточно найти вершину этого блока с минимальной меткой. Свойство циклической замкнутости блока позволяет это сделать лишь на основе вектора меток Mark [ x ], не привлекая дополнительной информации. На рис. 6.44 схематично представлен блок, где вершина w - точка входа в блок и точка сочленения. Поэтому, сохраняя минимальное значение меток обследованных вершин ( включая и по обратным ребрам поиска в глубину), будем проверять при рекурсивном выходе из поиска в глубину совпадает ли это минимальное значение с меткой вершины выхода. Если ответ положительный, то найдена точка сочленения. В алгоритме значения минимальных меток фиксируются в векторе Virtual [ x ] для каждой вершины х е X, как наименьшее значение из Mark [ y ], где у - вершины графа, которые достижимы из х при проходе графа в глубину. [43]
Докажем это предложение для пространств, удовлетворяющих первой аксиоме счетности. Итак, пусть R - пространство с первой аксиомой счетности, в котором всякое замкнутое множество абсолютно замкнуто. R замкнутыми, очевидно, не обладают свойством абсолютной замкнутости. Но, удовлетворяя первой аксиоме счетности, компактное пространство R регулярно ( по теореме 2 гл. [44]
Ясно, что аМк с Мк, так как для Мп выполняется свойство замкнутости. Для доказательства аМк Мп теперь достаточно показать, что все элементы множества аМп различны. Атак как ( а, т) 1 - взаимно простые, то Ь - Ь2 0 ( mod / л) или &. [45]