Cтраница 2
Группа движений такого многообразия является, вообще говоря, бесконечномерной. В [41] исследуются свойства симплектической метрики при различных предположениях относительно группы изотропии. [16]
Уже Риман высказал мысль о том, что ее следует рассматривать как нечто физически реальное, ибо, например, она проявляет себя в центробежных силах как некий потенциал, оказывающий реальное воздействие на материю, и что в соответствии с этим следует принять гипотезу об обратном воздействии материи на самое себя; ранее же всегда и все геометры и философы придерживались представления, что метрика пространства существует сама по себе независимо от материального содержания, которым заполнено пространство. На этих идеях, для реализации которых у Римана попросту не было еще возможности, в наши дни Эйнштейн ( независимо от Римана) основал величественное здание своей общей теории относительности. Согласно Эйнштейну, свойствами метрики мира объясняются также явления тяготения, а законы, по которым материя воздействует на метрику, не что иное, как законы гравитации. Коэффициенты gih в форме ( 2) представляют собой компоненты гравитационного потенциала. В то время как гравитационный потенциал определяется инвариантной квадратичной дифференциальной формой, для электромагнитных явлений главную роль играет 4-потенциал, компоненты которого объединяются в инвариантную линейную дифференциальную форму 2Ф dxt. При этом оба круга явлений - гравитация и электричество - сосуществуют совершенно изолированно друг от друга. [17]
Понятно, что начальная гиперповерхность S ( t t0) выбрана в той же области. Это значит, что здесь не возникает пересечения координатных линий времени синхронной системы отсчета. Возможность существования каустики вдали от сингулярности и свойства метрики в ее окрестности ( что интересовало нас в ранней работе) в действительности не имеет отношения к проблеме реальных сингуляр-ностей. Как уже было упомянуто, мы не будем комментировать замечания БТ по этому поводу. [18]
Теория пространств, ва к-рых задана метрика, согласованная с к. Сюда относятся евклидовы пространства, предгильбертовы и гильбертовы пространства, банаховы пространства п банаховы алгебры. Имеющиеся здесь факты существенно связаны с рассмотрением важнейших в идейном отношении свойств метрик или норм, но по содержанию целиком принадлежат соответствующим областям алгебры и функционального анализа. [19]
Риманова метрика индуцирует на М обычную метрику. Действительно, риманова метрика позволяет сопоставить каждому гладкому пути на М его длину ( вычисляемую как интеграл), и расстояние между двумя точками на М определяется как точная нижняя грань длин всех путей, их соединяющих. Для наших целей можно считать определяющим именно это свойство ри-мановой метрики, и мы можем по большей части оставлять в стороне такие изысканности, как касательные расслоения. [20]
Обозначим через Е и F два непустых компактных подмножества Rn. Хаусдорфово расстояние между Е и F можно задать несколькими способами. Вопрос о том, является ли расстояние Хаусдорфа метрикой, вынесен в прил. Хаусдорфа действительно обладает всеми свойствами метрики. Там же доказывается эквивалентность двух определений. [21]
Вопрос, имеет ли место подобное разбиение трехмерных многообразий на различные геометрические типы, представляется весьма естественным, но поставлен он был только совсем недавно Терстоном. Прежде всего следует решить, какими типами геометрий надо интересоваться. Существуют три очевидные геометрии, которые непосредственно соответствуют двумерным, а именно геометрии постоянной кривизны S3, Е3 и Я3, но легко найти замкнутые трехмерные многообразия, которые не могут обладать геометрической структурой по образцу никакого из этих трех многообразий. Тем не менее метрика все еще будет однородной; под этим я понимаю то, что многообразие выглядит одинаково в различных точках. Точнее эти свойства метрики можно выразить, сказав, что группа изометрий многообразия S2 X R действует транзитивио, а стабилизатор точки отличен от О ( 3), как это имеет место в случае постоянной кривизны. [22]