Свойство - перемешивание
Cтраница 2
Оказалось, что свойство эргодичности само по себе не является ни необходимым, ни достаточным для желаемого обоснования статистической физики. По-настоящему существенным является наличие другого свойства - неустойчивости фазовых траекторий системы по отношению к малым возмущениям начальных условий и связанное с этим более сильное, чем эргодичность, свойство перемешивания. Книга Крылова была опубликована посмертно, в 1950 г., благодаря усилиям Фока, который осознавал принципиальное значение развитых его учеником идей. [16]
 |
Действие фазового потока F на малую область П при квазипериодическом движении. [17] |
Вместе с тем существуют гамильтоновы системы ( см. § 14) с более сложными режимами движения. Такие системы, как говорят, обладают перемешиванием. Как будет видно из дальнейшего, свойство перемешивания, в отличие от эргодичности, как раз и может служить критерием хаотичности движения динамических систем. [18]
Возможность такого предельного перехода тесно связана с проблемой слабой устойчивости, рассмотренной в гл. Если в любой сколь угодно малой области фазового пространства существует пучок траекторий, то предельный переход становится невыполнимым. В настоящее время известны два типа динамических систем, для которых это так - системы с достаточно сильными свойствами перемешивания и системы с катастрофой Пуанкаре ( см. гл. [19]
Таким образом, если в начальный момент времени мы знали состояние системы достаточно точно, с малой ошибкой, то со временем ошибка начнет нарастать, и спустя некоторое время, зависящее от скорости перемешивания ( заметим, что скорость перемешивания обычно не связана каким-либо простым образом с величинами ляпуновских показателей), окажется, что о состоянии системы можно сказать лишь, что оно где-то на аттракторе. Таким образом, мы приходим к вероятностному описанию динамического хаоса, к понятиям инвариантной меры и энтропии - степени хаотичности системы. Аттракторы, обладающие свойством перемешивания, часто называют перемешивающими, или стохастическими аттракторами. Однако доказать или проверить свойство перемешивания обычно очень трудно. Тем не менее, в большинстве случаев хаотичность скорее всего влечет за собой и стохастичность аттрактора. [20]
Относительно теоремы Лиувилля необходимо сделать одно замечание. Хотя фазовый объем, занимаемый мечеными фазовыми точками, остается постоянным в процессе динамической эволюции, форма этого объема меняется очень сложным образом из-за неустойчивости фазовых траекторий. Близкие точки быстро расходятся на большое расстояние, поэтому с течением времени область ДГо с гладкой границей превращается в область ДГ весьма причудливой формы, напоминающей мыльную пену. В связи с этим говорят, что статистический ансамбль обладает свойством перемешивания в фазовом пространстве. [21]
Свойство эргодичности для них также является весьма важным и в простейших случаях может быть строго доказано. Автокорреляционная функция также является одной из важных характеристик. В частности, если наблюдается экспоненциальное затухание корреляций, это может свидетельствовать о том, что динамическая система обладает свойством перемешивания и в некотором смысле на больших временах ведет себя аналогично случайному процессу. [22]
Таким образом, если в начальный момент времени мы знали состояние системы достаточно точно, с малой ошибкой, то со временем ошибка начнет нарастать, и спустя некоторое время, зависящее от скорости перемешивания ( заметим, что скорость перемешивания обычно не связана каким-либо простым образом с величинами ляпуновских показателей), окажется, что о состоянии системы можно сказать лишь, что оно где-то на аттракторе. Таким образом, мы приходим к вероятностному описанию динамического хаоса, к понятиям инвариантной меры и энтропии - степени хаотичности системы. Аттракторы, обладающие свойством перемешивания, часто называют перемешивающими, или стохастическими аттракторами. Однако доказать или проверить свойство перемешивания обычно очень трудно. Тем не менее, в большинстве случаев хаотичность скорее всего влечет за собой и стохастичность аттрактора. [23]
Течение, при котором соседние слои жидкости скользят одни по другому без перемешивания, называется ламинарным. Такое течение реализуется, например, в трубах малого диаметра при небольших скоростях потока. Такое наложенное беспорядочное вихревое движение называется турбулентным. Хаотичность, неупорядоченность являются характерной и существенной особенностью этого движения. Упорядоченная система вихрей или регулярные периодические колебания скорости но обладают свойствами перемешивания, характерными для хаотического движения, и не включаются в понятие турбулентности. Так как общие решения уравнений Бавье-Стокса, которые описывали бы турбулентные движения, неизвестны, то точные количественные данные о турбулентных потоках могут быть получены только из экспериментов. Диапазон необходимых опытов, к счастью, существенно сокращается благодаря закону подобия, открытому Рейнольдсом. [24]
Страницы: 1 2