Cтраница 3
На рис. 1.4.1 теорема Дилуорса проиллюстрирована применительно к частично упорядоченному множеству из одиннадцати элементов. Мы здесь, как это принято при изображении диаграмм частично упорядоченных множеств, опустили все те ребра, которые можно восстановить, используя свойство транзитивности, а также опустили все петли, которые отражают свойство рефлексивности. [31]
Докажем, что любое отношение эквивалентности позволяет разбить множество на классы. Действительно, пусть Ка - группа элементов из А, эквивалентных фиксированному элементу а. В силу свойства рефлексивности а е Ка - Покажем, что две группы Ка и Кь либо совпадают, либо не имеют общих элементов. [32]
Если между элементами двух любых множеств можно установить взаимно однозначное соответствие, то говорят, что эти множества имеют одну и ту же мощность. Равномощность обладает свойствами рефлексивности, симметрии и транзитивности. В случае конечных множеств, - писал Кантор, - мощность совпадает с количеством элементов. Вот почему мощность и называют также кардинальным ( количественным) числом. Указанная простая и незначительная на первый взгляд идея Кантора привела его к замечательным открытиям, часто резко противоречащим обычной нашей интуиции. Так, в отличие от конечных множеств, на которые распространяется евклидова аксиома ( целое больше части), бесконечные множества этому положению не подчиняются. [33]
Это определение эквивалентности обладает свойствами рефлексивности, симметричности и транзитивности, и потому все множество фундаментальных последовательностей рациональных чисел распадается на классы эквивалентности. [34]
В массиве ПК организуются связи и отношения через ранжирование в виде разного рода иерархии отношения порядка в соответствии с функциональной структурой и блочно-модульным принципом построения изделия. На разных ступенях иерархии ПК, начиная с технических требований и кончая требованиями к точности детали, существуют разные меры количественной оценки ПК и их величины, допускаемые отклонения устанавливаются в разных шкалах измерений. Иерархическая схема ПК уточняется отношением порядка со свойствами рефлексивности, транзитивности и антисимметричности. Выявляется массив альтернатив из функциональных параметров, определяющий ресурс повышения ПК. [35]
Это определение можно перефразировать, сказав, что две плоскости параллельны, если базис одной из них является в то же время базисом и другой плоскости. Заметим, что две совпадающие плоскости считаются в силу этого определения параллельными. Отметим также, что в силу этого определения параллельными могут быть только плоскости одинаковой размерности, причем отношение параллельности ( r - мерных плоскостей) обладает свойствами рефлексивности, симметричности и транзитивности. Иногда, впрочем, придерживаются иной терминологии, согласно которой прямая может быть параллельна плоскости и, вообще, плоскость одного числа измерений может быть параллельна плоскости другого числа измерений. Именно, две плоскости Р, Q считают параллельными, если для их направляющих подпространств LP, LQ справедливо включение LPI LQ ( или LP. [36]
Отношение ср называется отношением строгого порядка ( или строгим порядком), если оно транзитивно и антирефлексивно. В силу задачи 8 к § 2 любое отношение строгого порядка антисимметрично. Отношение ср называется отношением совершенного строгого порядка ( или совершенным строгим порядком), если оно связанно и является отношением строгого порядка. Таким образом, прилагательное совершенный означает добавление свойства связанности. Переход от нестрогого ( совершенного нестрогого) порядка к строгому ( совершенному строгому) порядку означает, ввиду сделанного выше замечания, замену свойства рефлексивности свойством антирефлексивности. Определения всех четырех видов отношений порядка ( я пишу четырех, хотя любое отношение совершенного нестрогого порядка является отношением нестрогого порядка, а совершенный строгий порядок есть частный случай строгого порядка) сведены в таблице. [37]