Cтраница 2
KN - некоторые константы, причем показательный порядок расхождения кривых фактически наблюдается, если функции фг-суть константы, равные ег Поэтому уменьшение е ( 0 позволяет нам, правда, но решениям системы ( 2), определить свойства решений системы ( 1) для все более широкого промежутка изменения параметра t или, как мы часто будем говорить в дальней-шем, - для все большего промежутка времени, но о предельных свойствах мы ничего сказать не сможем. Нельзя также сделать заключений и о выходе кривой из окрестности, если только промежутки времени, которые проводят кривые в окрестности, неограничены сверху. Итак, близость нулевого порядка не дает нам возможности сделать нужных заключений. [16]
Системы ( 8) имеют глубокое значение для изучения структуры данного многообразия. Свойства решений системы ( 8) удобно формулируются в терминах так называемой теории когомологии де Рама. [17]
Основная задача при изучении разрывных решений нелинейных гиперболических систем состоит в том, чтобы определить класс функций, в котором существует единственное обобщенное решение задачи Коши, непрерывно зависящее в определенном смысле от начальных данных. Оказывается, что качественные свойства обобщенных решений такого уравнения напоминают свойства решений системы уравнений газовой динамики. [18]
Основная идея описания схемы реакций с помощью двудольных ориентированных графов состоит в том, чтобы связать свойства решений системы (1.2) с геометрическими свойствами графа. Это позволяет охватить более широкий круг задач, чем только задачи химической кинетики. [19]
Закономерности, свойственные окрестностям особых точек, можно назвать локальными. Для исследования локальных закономерностей воспользуемся одним из методов качественной теории дифференциальных уравнений, а именно: подберем систему дифференциальных уравнений, имеющую те же качественные свойства, что и система ( 11 3), но более простую, затем с помощью найденной приближающей системы изучим свойства решений системы ( 11 3) в окрестности ее особых точек. [20]
В конкретных механических задачах выбор начальных и граничных условий обычно не вызывает особых трудностей, поскольку он диктуется непосредственно физическими соображениями. Однако в более сложных случаях, как показывает приведенный выше пример течения с проницаемой границей, может возникнуть вопрос о числе условий, которые необходимо задавать на отдельных частях границы области движения. Как уже было сказано, этот вопрос будет рассмотрен позже при изучении свойств решений системы уравнений одномерных нестационарных движений. [21]
Для гиперболических систем И. Г. Петровским изучена задача Коши. Для эллиптических систем им доказана аналитичность всех достаточно гладких решений при условии, что уравнения системы задаются аналитическими функциями. Этот результат явился наиболее полным решением 19 - й проблемы Гильберта и широким обобщением теоремы С. Н. Бернштейна об аналитичности решений эллиптических уравнений второго порядка, доказанной в 1903 г. Для параболических систем И. Г. Петровским доказана корректность задачи Коти, изучены свойства решений зтих систем. [22]