Cтраница 4
Одна из них гласит: на левых смежных классах определена операция умножения комплексов. По доказанному выше, именно эта часть утверждения означает, что подгруппа Н является нормальным делителем. Вторая часть утверждения отмечает полугрупповое свойство умножения комплексов - ассоциативность. Нетрудно видеть, что этим свойством обладают любые комплексы. Следовательно, умножение комплексов всегда ассоциативно независимо от того, оговариваем ли мы это свойство заранее или обходим молчанием. [46]
Итак, операции на множестве ( Т1; G) определены. Следовательно, принципиальные трудности преодолены. Но остались еще трудности практические, связанные с доказательством тождеств, которым удовлетворяют введенные нами операции. Нетрудно видеть, что большинство тождеств выполняются. Тем не менее строгое доказательство тождеств достаточно сложно, поскольку они должны относиться не к конкретному, заранее заданному числу членов, а к выражениям, содержащим любое число членов. Именно поэтому мы не будем приводить здесь доказательства тождеств, а ограничимся лишь тем, что перечислим их. Ясно, что, задав на множестве ( Т1; G) умножение на скаляры и сложение, мы получим векторное пространство. Операция умножения элементов определена так, что умножение дистрибутивно относительно сложения как слева, так и справа. Пользуясь этим свойством умножения, а также ассоциативностью группового умножения, можно доказать, что умножение элементов из ( Г, G) ассоциативно. [47]