Cтраница 2
В книгах [ Householder, 1964 ] и [ Wilkinson, 1965 ] даны ценные сведения об истории степенного метода и обратной итерации в 1950 - х годах и даже в более ранний период. Уилкинсон способствовал разоблачению мифа о том, что близость А-о к вырожденной матрице, когда о - вычисленное собственное значение, мешает быстрой сходимости обратной итерации. [16]
Однако второе собственное значение является ближайшим к первому. Процедура bandet 2 подтверждает, что действительно между числами 4 9 и 5 0 имеется три собственных значения и что вычисленные собственные значения суть 17 - е, 16 - е и 18 - е, если их пронумеровать в порядке убывания. [17]
Ньютона реализован в процедуре ratqr, где обычный сдвиг, используемый в Q / - алгоритме, дополнен поправками, вычисляемыми по формуле Ньютона для характеристического многочлена исходной матрицы. При этом решение сходится к наименьшему или наибольшему собственному значению. При обычном сдвиге порядок следования вычисленных собственных значений произволен, однако первое собственное значение, как правило, очень близко к одному из собственных значений минора порядка 2X2, расположенного в правом нижнем углу. [18]
В последовательных методах собственные значения определяются поочередно. При этом, начиная со второго собственного значения, возникает необходимость воспрепятствовать тому, чтобы итерации сходились к ранее найденным: корням. В одних случаях исчерпывание приводит к построению матрицы А, у к-рой вычисленным собственным значениям А соответствуют пулевые корпи; в остальном спектр обоих матриц совпадает, совпадают п их собственные векторы. В других случаях результатом исчерпывания является расщепление матрицы, вследствие чего последовательные собственные значения можно определить, пользуясь матрицами убывающих порядков. [19]
Вариант PWK QL-алгоритма без квадратных корней ( § 8.15) не был опубликован в открытой литературе. Кроме того, скорейший путь вычисления полного набора ортонормированных собственных векторов состоит в выполнении QL-алгоритма на основе быстрых преобразований Гивенса при использовании ранее вычисленных собственных значений в качестве сдвигов. Кажется, эта комбинация методов никем до сих пор не была указана. [20]
Соотношение (19.191) определяет порядковую оценку КН, основанную на простых динамических соображениях. Следовательно, по оценке КН равно величине, необходимой для возбуждения низшей моды. Любопытно, что простые динамические оценки динамо-чисел в ядрах планет намного превышают собственные значения для наблюдаемых стационарных ди-польных полей, в то время кап для Солнца и Галактики аналогичные оценки весьма близки к вычисленным собственным значениям. [21]
Так будет, в частности, если диагональные элементы исходной матрицы АО расположены в порядке возрастания. Обычно это свойство сохраняется в течение всего итерационного процесса. Поэтому вычисленные собственные значения могут рассматриваться как точные для матрицы вида АО F0, где F0 1 sg ее АО и с - постоянная, порядка единицы. [22]
Значительные начальные затраты на треугольное разложение, именно / г3 / 3 ops, могут быть амортизированы по всем сделанным шагам. Пробел в этом утверждении тот, что в INVIT часто выполняют только один шаг. В подобных случаях а-это вычисленное собственное значение, верное почти во всех знаках. [23]
Следовательно, после того, как выполнено последнее р-ое обращение к процедуре, параметр г равен наибольшей норме одной из последних строк этих р матриц. Такой критерий приемлем, когда нормы строк исходной матрицы А одного порядка или быстро убывают. Если же нормы строк матрицы А значительно отличаются, первыми следует вводить строки с наибольшими нормами. Это позволяет избежать применения двух сдвигов, но не гарантирует сходимость к требуемому собственному значению. Для того чтобы выяснить, являются ли вычисленные собственные значения действительно ближайшими к t, следует воспользоваться процедурой bandet 2 ( алг. Для этого потребуется значительно меньше времени, чем на одну итерацию QR-алго-ритма. [24]