Cтраница 4
В этом случае необходимость условий проверяется возможностью продолжения любой функций, удовлетворяющей граничным условиям, с многообразия Гт на всю область g в заданный класс функций. Важность такой постановки особенно ясна при решении прямыми методами вариационных задач, когда требуется при заданных граничных функциях проверить непустоту рассматриваемого класса. В настоящее время граничные свойства функций, принадлежащих различным функциональным пространствам, наиболее полно исследованы на плоскостях, параллельных координатным. Для общих многообразий получение необходимых и достаточных условий связано с большими трудностями. Ниже исследуются дифференциальные свойства следа для неизо-троппых классов Wp ( g) на плоских многообразиях Гт, а также на многообразиях, которые при помощи инвариантных относительно класса Wp преобразований приводятся к плоскому случаю. Характеристика следа на существенно криволинейной границе будет исследована в следующей главе. [46]
Будем рассматривать упругое пространство, имеющее бесконечное число цилиндрических отверстий, образующие которых параллельны оси г. Сечение плоскостью, перпендикулярной оси г, есть плоскость переменной х - - 1у с бесконечным числом круглых отверстий / ( V /, расположенных в определенном порядке. Рассмотрим два случая расположения отверстий, для которых затем решим две задачи термоупругости. Решение задачи термоупругости и связанной с ней задачи теплопроводности основано у нас на применении аналитических функций, обладающих интересными граничными свойствами в бесконечно связной области. Рассмотрим эти свойства для двух случаев расположения отверстий. [47]
Оказывается это остается верным и для топологических поверхностей из-за теоремы Радо [161] ( см. также [206], 25, 7.5. 1J), утверждающей, что вое поверхности триангулируемы и что в размерности 2 выполнена основная гипотеза о триангуляции - хауптфермутунг - , утверждающая, что любые две триангуляции одной и той же поверхности имеют изоморфные подразбиения. Далее, любые две ( вещественно) дифференцируемые структуры на поверхности эквивалентны. Как следствие этого, топологические и вещественно дифференцируемые поверхности могут классифицироваться по гомологическим инвариантам: ориентируемости, эйлеровой характеристике, граничным свойствам. Это дает основание тому, что главные топологические свойства поверхностей могут изучаться на уровне методов комбинаторной теории групп. [48]
Смазочный материал, распределенный ультратонким слоем на поверхности металла или какого-либо другого твердого тела, под влиянием силового поля этого тела приобретает особые свойства, отличающиеся от тех, которыми он обладает в объеме. Прямых методов изучения тонкой структуры граничного слоя и молекулярного взаимодействия в нем пока для смазок не разработано. Но в практике довольно широко используют методы, позволяющие оценивать отдельные эксплуатационные показатели смазочных материалов, в значительной мере обусловленные граничными свойствами. К таким показателям относятся смазочная способность, определяющая антифрикционные свойства смазок, и способность удерживаться на вертикальной поверхности при температурах, близких к температуре плавления ( температура сползания), характеризующая защитные свойства смазок ( см. гл. [49]
Можно доказать, что формулы ( Г) и ( II) остаются в силе для самого общего интеграла типа Коши, если пренебрегать нуль-множествами. КрЪме того, можно обнаружить в этом случае, что предельное значение % ( z0) [ или ре ( г0) ] остается одним и тем же, если мы будем приближать точку г к точке гп по любому пути, не касательному в точке zg к контуру интегрирования. Исчерпывающее решение этих вопросов читатель может найти в наших книгах Интеграл Cauchy ( Научные записки Саратовского университета, 1918), а также Граничные свойства однозначных аналитических функций ( изд. [50]
Объемные свойства смазки теряют свое значение, и основную роль приобретают свойства граничного слоя. От них зависит весьма важный эксплуатационный показатель антифрикционных смазок - маслянистость или смазочная способность и важная для защитных и герметизирующих смазок липкость. Граничные свойства смазок относятся к числу наименее изученных. [51]
Основные факты, которые мы для этой задачи установим, могут быть получены также для любой односвязной области с достаточно гладкой границей. Более того, они могут быть получены из теорем, доказанных для круга, с помощью конформного преобразования. Мы не можем в нашем курсе на таком перенесении останавливаться, так как в нашем распоряжении нет тех тонких теорем о граничных свойствах конформных преобразований, которые для этого перенесения нужны. [52]