Cтраница 3
Достаточный признак устойчивости положения равновесия механической системы относительно инерциальной системы отсчета устанавливается следующей теоремой. Пусть идеальные голономные связи, наложенные на систему, стационарны, заданные силы явно от времени не зависят, а потенциальная энергия системы в некотором положении обладает изолированным минимумом; тогда это положение будет положением устойчивого равновесия. [31]
Голономными называются такие связи, уравнения которых не-содержат производных координат по времени. Иными словами, голономные связи определяются уравнениями в конечном виде, а не дифференциальными. [32]
Голономными называются такие связи, уравнения которых не содержат производных координат по времени. Иными словами, голономные связи определяются уравнениями в конечном виде, а не дифференциальными. [33]
Наиболее простыми связями являются голономные. В свою очередь голономные связи подразделяются на стационарные и нестационарные. Уравнением (7.1) задана голономная стационарная связь; в уравнении время в явном виде не содержится. Связь осуществляется неподвижной поверхностью, не изменяющей своей формы. Уравнение [ ( х, у, г, /) 0 задает голономную нестационарную связь и осуществляется движущейся или деформирующейся поверхностью. Как видим, голономные связи зависят только от координат и не зависят от производных координат. [34]
Предположим, что голономные связи f 0 явно не зависят от времени, т.е. f f ( r), ЭШ. [35]
Если точкам системы дать перемещения, не нарушающие наложенных связей ( согласные со связями, дозволяемые связями), то на основании принципа виртуальных перемещений мы получим, что сумма элементарных работ уравновешенной системы сил равна нулю. Допустим, что наложенные на систему голономные связи являются идеальными, стационарными и удерживающими. [36]
При исследовании свойств системы материальных точек, подверженных действию связей, часто оказывается желательным уменьшить размерность ее координатного пространства. Это возможно, когда в системе имеются голономные связи. Цель настоящего параграфа состоит в построении процедуры выделения голономных связей из заданного множества дифференциальных связей. [37]
В предшествующих главах движение системы материальных точек рассматривалось чаще всего в предположении, что оно не стеснено какими-либо связями, и только в конце предыдущей главы было показано, каким образом можно аналогично исследовать движение системы со связями. Условия неизменности расстояния между точками естественно накладывают на систему голономные связи, и поэтому при отсутствии внешних неголономных связей изучение движения твердого тела сводится к изучению движения системы, состоящей из любого числа материальных точек с голономными связями. [38]
Геометрические и кинематические интегрируемые связи называются голономными, а кинематические неинтегрируемые - неголо-номными. Механическая система называется голономной, если на нее наложены только голономные связи, и неголономной, если имеется хотя бы одна неголономная связь. [39]
Как отмечалось в § 3.2, при построении математической модели технической системы рекомендуется выбрать только независимые фазовые координаты типа потока. Если при выборе этих координат учесть наложенные на систему удерживающие голономные связи, то необходимость составления уравнений этих связей и их использования при моделировании исключается. Математические модели всех рассмотренных в предыдущих параграфах объектов построены с учетом этих рекомендаций. [40]
Связи ( 2) мы предполагаем него лоном - ными. Все дальнейшие выводы будут справедливы, если ( 2) содержат и голономные связи, записанные в дифференциальной форме. Однако при решении задач выделение всех голономных связей в соотношение вида ( 1) целесообразно с точки зрения упрощения анализа задачи. [41]
Если она заканчивается, когда число линейно независимых операторов равно п 1, то в системе дифференциальных связей го-лономные связи отсутствуют. Если число линейно независимых операторов, полученных процедурой расширения, меньше чем п 1, то соответствующая всем этим операторам пфаффова система вполне интегрируема, а ее уравнения образуют голономные связи рассматриваемой механической системы. [42]
В случае голономных связей трудность первого рода разрешается введением обобщенных координат. До сих пор мы встречались только с декартовыми координатами, и система, состоящая из N материальных точек, будучи свободной от связей, имела ЗА / независимых координат, или, другими словами, 3N степеней свободы. Если на эту систему наложены голономные связи, выражаемые k уравнениями вида (1.35), то мы можем с их помощью исключить k координат из общего числа 3N и получить, таким образом, лишь 3N - k независимых координат. В этом случае про систему говорят, что она имеет 3N - k степеней свободы. Исключение зависимых координат может быть произведено и другим путем. [43]
Наиболее общим приемом составления дифференциальных уравнений движения материальной системы, подчиненной голономным связям, является применение уравнений Лагранжа. При наличии идеальных связей в эти уравнения не входят реакции связей. Если на материальную систему наложены голономные связи, то число уравнений Лагранжа равно числу степеней свободы. Применение этих уравнений особенно целесообразно при рассмотрении систем с несколькими степенями свободы. [44]
Наиболее общим приемом составления дифференциальных уравнений движения материальной системы является применение уравнений Лагранжа. При наличии идеальных связей в эти уравнения не входят реакции связей. Если на материальную систему наложены голономные связи, то число уравнений Лагранжа равно числу степеней свободы. Применение этих уравнений особенно целесообразно при рассмотрении систем с несколькими степенями свободы. [45]