Cтраница 2
Среди римановых связностей существует единственная связность, тензор кручения которой равен нулю. Эта связность называется связностью Леви-Чивита. [16]
Пусть М - двумерное риманово многообразие. Мы опишем рима-новы геодезические, связность Леви-Чивита и параллельный перенос на Т М - ТМ. [17]
Тогда существует единственная аффинная связность V на М, которая согласуется с метрикой g и не имеет кручения. Эта связность, которая называется связностью Леви-Чивита, удовлетворяет одним и тем же соотношениям вне зависимости от того, является ( М, g) римановым или псевдоримановым многообразием. [18]
Два римановых пространства конформно эквивалентны, если их связности Леви-Чивита имеют совпадающие нормальные К. [19]
Лемма 14.1. ( t) Для всех индуцированных метрик сужения е н совпадают. В любой фиксированной карте на О ( М) сужения на Н локального коэффициента Г ( X, X) связности Леви-Чивита как операторы от X Н ДЛя всех индуцированных метрик совпадают. [20]
Дословно перносится на псевдориманов случай доказательство теоремы 8.2.1, так что на любом псевдоримановом многообразии существует, притом единственная, псевдориманова симметричная связность. Ее называют, как и в римановом случае, связностью Ле-ви - Чивща. Свойства, касающиеся самой связности Леви-Чивита, в псевдоримановом многообразии такие же, как в римановом, но свойства, проявляющиеся во взаимодействии со скалярным произведением, во многом иные. Впрочем, некоторые из таких свойств сохраняются. Например, как видно из ( 7), при параллельном переносе сохраняется скалярное произведение. [21]
Книга рассчитана на читателя, обладающего определенными познаниями в топологии. Используются основные понятия, относящиеся к гладким многообразиям и векторным расслоениям - впрочем, как правило, это еще не топология, а по известному выражению Ленга, ничья земля. Если в п-мер-ном случае читатель привык представлять себе локальные координаты не столько как набор п чисел, сколько как точку - мерного евклидова пространства ( к чему приучают все современные изложения), то ему уже нетрудно будет всюду заменить евклидово пространство гильбертовым. Нужно также знакомство с элементами римановой геометрии: связность Леви-Чивита, тензор кривизны. [22]