Cтраница 2
Значения а различны для разных траекторий; их можно определить, используя метод символической динамики. [16]
Можно показать, что в этой системе имеется взаимно однозначное соответствие между реальными орбитами и бинарными последовательностями символической динамики ( см. гл. График на рис. 8.10 а построен с учетом 8 орбит в разложении по циклам (8.3.12), а на рис. 8.10 б - с учетом 71 орбиты. В первом случае неплохо воспроизводятся первые 15 собственных значений, тогда как во втором случае согласие с результатами точного расчета отличное. [17]
Конкретное моделирование фрактального трендоустойчивого процесса переключения нейроподобной структуры, выполненной на базе тонкопленочной микромагнитной среды из магнитоодноосных зерен-ячеек, реализуется в рамках основных представлений символической динамики. [18]
Методы символической динамики используются также в теории клеточных автоматов. [19]
Это дает полное описание всех фазовых траекторий точечного отображения Т - как периодических, так и непериодических. Приведенное описание выдержано в духе так называемой символической динамики. [20]
Основным инструментом служат марковские разбиения и символическая динамика, существование которых впервые доказано Синаем в [1, 2] для диффеоморфизмов Аносова. Синай [4] обнаружил, что, используя символическую динамику, можно применить методы статистической механики к изучению инвариантных мер на многообразии с диффеоморфизмом Аносова. [21]
Кроме того, предполагается, что-при достаточно больших х производная Qx отрицательна. Это условие является аналогом условия отрицательности кривизны в проблеме геодезических исследований, к которой применены методы символической динамики. На физическом языке уравнение ( 1) описывает движение частицы в одномерной потенциальной яме, профиль которой периодически меняется со временем. Другими словами, система испытывает периодические возмущения, которые и вызывают резонансные явления. Существенным для дальнейшего рассмотрения является сильная нелинейность задачи. Как известно, период линейных колебаний не зависит от амплитуды, в то время как в рассматриваемых нами случаях он должен расти и притом достаточно быстро. [22]
Изложение теории детерминированного хаоса разбито на две главы. Глава 6, Хаотическая динамика I, дает представление о предмете на элементарном уровне, причем такие сложные понятия, как символическая динамика, раскрываются в основном на примерах. Глава 7, Хаотическая динамика II, в большей мере предназначена для студентов с хорошей математической подготовкой и может быть опущена, если курс предполагается упростить. С другой стороны, именно здесь прояаляется отмеченная выше взаимосвязь фракталов и хаоса. [23]
В процедуре обхода контура из близлежащих элементов-ячеек вокруг локальных центров переключения используется кодовая последовательность случайных матриц состояния, формирующихся на каждом временном шаге. При величине случайного числа, задаваемого датчиком случайных чисел, больше заданного критического значения Рсг порога переключения Р, имеет место переключение очередной соседней ячейки. Использование символической динамики состояния структуры позволяет устанавливать и сравнивать равновероятностный ( марковский) процесс разрастания областей переключения с аналогичным процессом при смещении срединной горизонтали распределения вероятностей ( квантиля), то есть с изменением уровня фильтрации значений датчика случайных чисел. [24]
Анализируя рассуждения К. А. Сит-никова, А. Н. Колмогоров нашел, что в основе его конструкции лежит весьма общая геометрическая идея. Развивая дальше эту геометрическую точку зрения, автор нашел, что в рассматриваемой задаче применимы методы символической динамики. Очень полезным оказалось здесь знакомство с конструкцией Смей-ла [2], хотя непосредственно утверждения статьи к изучаемым ниже случаям, по-видимому, неприменимы. Дело в том, что проверка применимости теорем общего характера к конкретным системам ( а не к системам достаточно общего вида) всегда требует значительных усилий. [25]
Более того, оказывается, что для любой последовательности (7.47) из единиц и двоек можно найти точку л: 0, которой она соответствует. Доказательство этих, на первый взгляд весьма удивительных утверждений, может быть получено сравнительно просто и опирается на довольно общие утверждения, значительно выходящие за рамки рассматриваемого примера. Эти общие утверждения составляют основу так называемого символического описания точечного отображения и символической динамики 135 ], о которой применительно к рассматриваемому примеру пойдет речь. [26]
Необратимость и хаос процесса, когда расстояние между двумя точками может увеличиваться при наличии положительного показателя Ляпунова 1 / т 1о § 2, что определяет нарушение нелокальности и является фундаментальным свойством оператора Q. Эти свойства обеспечивают переход от неустойчивых динамических консервативных систем к диссипативным системам. Далее водится описание, обозначая каждое мгновенное состояние О или 1 в зависимости от того, к какому из двух состояний система ближе. Это соответствует алфавиту из двух символов 0 и 1, разбиение пространства состояний на два класса сохраняет характер процесса. Эта цепь состояний системы конечной длины рассматривается как символическая динамика. [27]
Особо отметим монографию Георги [3], вобравшую в себя значительную часть того, что было сделано к середине 80 - х годов. Но и на этом фоне книга Рюэля не представляется лишь литературным памятником. От всех перечисленных книг она отличается двумя особенностями. Одна из них - это уже упоминавшийся динамический подход, другая состоит в том, что рассматриваемые модели статистической физики на счетном множестве, в частности, на решетке, описываются вероятностными мерами, сосредоточенными, вообще говоря, не на всем пространстве конфигураций, а лишь на множестве допустимых конфигураций. Это обстоятельство, которое автор считает главным признаком общности модели ( см. введение), равносильно тому, что потенциал взаимодействия, определяющий модель, принимает как действительные значения, так и значение оо, или, на другом языке, что у частиц может быть твердая сердцевина. Стоит заметить, что именно модели с твердой сердцевиной, как правило, возникают при изучении динамических систем методами символической динамики, хотя теория таких моделей гораздо менее продвинута, чем теория моделей без твердой сердцевины. Таким образом, две упомянутые особенности подхода Рюэля связаны между собой. [28]