Cтраница 2
Отсюда получим, что в нашем случае погрешность численного интегрирования при определении координат х и у по приближенно вычисленным значениям функции О не превосходит величины Л2 / 12, где Л - максимальный шаг квазиравномерной сетки. [16]
В главе III рассмотрено численное дифференцирование функции, заданной на некоторой сетке. Введены квазиравномерные сетки, полезные во многих приложениях. Обсуждена некорректность задачи дифференцирования, проявляющаяся при сильном уменьшении шага, и изложены некоторые способы регуляции. Показано, как можно повышать точность и оценивать погрешность при сгущении сетки. [17]
Для решения задач изгиба стержня используется расчетная схема, которая представляет собой математическую-модель изгиба стержня. Эта модель задает значения функций из правых частей дифференциального уравнения упругой линии стержня, а также параметры квазиравномерной сетки. [18]
Параметр а управляет сеткой; чем он меньше, тем гуще узлы сетки при х - а и реже при ж - - оо. Последний интервал этой сетки ( XN, Хд) бесконечно велик, ибо точка XN - бесконечно удаленная ( отсюда ясно, что середину интервала квазиравномерной сетки надо находить при помощи основного преобразования. Эта сетка полезна при вычислении интегралов с бесконечным верхним пределом. [19]
Нелинейные формулы повышенного порядка точности, аналогичные формулам Симпсона или Гаусса, не употребляют, ибо их слишком сложно строить. Повышенный порядок точности получают ( разумеется, если функции имеют требуемые непрерывные производные) таким приемом: строят лодходящую несложную нелинейную формулу невысокого порядка точности и проводят по ней расчеты на последовательности сгущающихся равномерных или квазиравномерных сеток; полученные результаты уточняют методом Рунге - Ромберга или процессом Эйткена. [20]
На квазиравномерных сетках справедливо разложение остаточного члена в ряд ( 17), если порождающее сетки преобразование x % ( t) достаточное число раз непрерывно дифференцируемо. В этом случае для повышения точности расчетов можно употреблять метод Рунге - Ромберга, подставляя в формулы ( 16) - ( 18) вместо h величину 1 / N. Для квазиравномерных сеток этот метод особенно выгоден, ибо для них прямые формулы высокого порядка точности очень громоздки. [21]
В случае равномерных сеток их сгущение производится тривиальным образом, например путем деления шага по-нолам. Если же специфика задачи требует использования неравномерных сеток, то сгущение следует проводить достаточно аккуратно с тем, чтобы обеспечить одинаковую степень неравномерности для всех сеток. Для этого можно воспользоваться так называемыми квазиравномерными сетками, которые обладают следующими свойствами. [22]