Cтраница 2
Линейная гомотопия ( I tds) ( tI du), 0 / И, лежит в классе операторов, для которых выполненьпусло-вия нетеровости, при / 0 получаем оператор вида du и, значит, mdb indao inddu. Оператор du является композицией псевдодифференциального оператора и оператора сдвига и вычисление индекса сводится к классической задаче вычисления индекса псевдодифференциального оператора в сечениях векторного расслоения. [16]
Хотя элементарные частицы точечные, они имеют внутренние степени свободы. Математически это означает, что в картине первичного квантования волновая функция ( скажем, кварка) является не скалярной функцией в пространстве-времени, а сечением векторного расслоения, связанным с главным G-расслоением, где G - группа Ли, называемая калибровочной группой. В идеале выбор G должен диктоваться фундаментальными законами природы, но на практике в 60 - е годы этот выбор зависел от модели. Аналогично волновая функция кванта фундаментальной силы есть связность на соответствующем векторном расслоении, то есть матричнозначная дифференциальная форма, описывающая параллельный перенос векторов внутреннего состояния вдоль траекторий в пространстве-времени. Теория ( вторично квантованная) подобного рода в общем случае называется теорией Янга-Миллса. Эта большая группа должна быть группой симметрии фундаментальной теории при больших энергиях, которая каким-то образом нарушается при более низких энергиях, приводя к эффективным лагранжианам сегодняшней физики. [17]
Мы будем рассматривать формы Q ( u, zz), которые являются интегралами от квадратичных форм, включающих производные от и не выше первого порядка. Все наши рассуждения очевидным образом переносятся на сечения векторных расслоений над областью с компактным замыканием, расположенной на дифференцируемом многообразии; однако мы будем рассматривать лишь простейшую ситуацию. [18]
К-теория делают возможными рассмотрения такого рода. Существенную роль играет тот факт, что проективный модуль можно рассматривать как модуль сечений векторного расслоения. Это объясняет выбор именно класса проективных модулей в качестве объекта теории. [19]
И вы можете узнать, такое у вас семейство сечений или нет, глядя на очень маленький кусочек этой кривой. А дальше уже могут быть какие-то сингулярности. Условие заключается в том, что семейство сечений должно быть такое, как семейство сечений векторного расслоения на проективной прямой. То есть главное, как устроены сечения, обращающиеся в нуль; они должны задаваться однородными полиномами. [20]
Параллельный перенос слоев наиболее часто используется в векторных расслоениях, которые отличаются рядом особенностей. Прежде всего отметим, что в каждом слое тг ( а), а; б М, векторного расслоения Е ( М, G, V, Р) имеется структура векторного пространства. Связность в векторном расслоении и порожденный ей параллельный перенос позволяет сравнивать ( и складывать) векторы сечения над разными точками базы. Именно на этом и основано понятие ковариантнои производной для сечения векторного расслоения, которую мы сейчас определим точно. [21]