Cтраница 2
Если любые две тройки, принадлежащие некоторой системе троек 2, имеют непустое пересечение, то 2 содержит не более 1 / 2 ( N - 1) ( N - 2) троек. [16]
Блок-схема с k 3 вполне естественно называется системой троек. [17]
Блок-схема с & 3, К-1 называется системой троек Штей-нера. [18]
Тем самым будет показано, что необходимое условие существования штейнеровых систем троек будет также достаточным. [19]
Доказать, что для каждого элемента исходного множества число троек системы троек Щтейнера, в которых он присутствует, не зависит от этого элемента. [20]
Общая задача Киркмана о школьницах состоит в том, чтобы найти систему троек, в которой тройки могут быть разделены на г полных дубликатов. Для и 9 задача решается легко, и решением служит совокупность прямых аффинной плоскости порядка 3, разбитая на четыре подмножества параллельных прямых. Для о 15 решение дано в предыдущем абзаце. [21]
Впрочем, главное затруднение в этой и подобных задачах состоит в том, что вообще нет уверенности, что такая конфигурация существует. Можно убедиться, что системы троек с таким условием на пары элементов для множеств, состоящих, например, из 5 или 6 элементов, не существует. [22]
Задачу о существовании системы троек Киркмана можно, конечно, ставить для произвольного порядка и. Доказательство достаточности этого условия существования системы троек Кирдшана долго оставалось нерешенной проблемой комбинаторной математики. [23]
Однородные координаты сопоставляются точке не однозначно. И говоря об однородных координатах точки, мы имеем в виду не определенную тройку чисел, а систему троек, отличающихся друг от друга некоторым множителем. [24]
Рассматриваются три проблемы теории информации, которые приводят к постановке задач комбинаторно-алгебраического характера. Первая из них сводится к характеристике строения порождающих множеств свободных полугрупп, вторая состоит в изучении циклических разложений систем троек Штернера, третья представляет собой интересную задачу теории разбиений. Приводится обзор результатов по этим вопросам, как полученных авторами, так и известных из литературы, и формулируются нерешенные проблемы в каждом из указанных направлений. [25]
Прежде всего, совершенно так же, как при доказательстве аналогичной теоремы 1 § 195, можно убедиться в том, что при фиксировании какой-нибудь системы проективных координат на проективной плоскости координатные тройки а и b точек А и В, являющиеся базисными тройками системы проективных координат на прямой с базисными точками Л, 5, С, с точностью до пропорциональности однозначно определены. Действительно, тройка с а 4 - Ь должна быть по условию координатной тройкой точки С и, следовательно, при заданной системе проективных координат на проективной плоскости, с точностью до пропорциональности однозначно определена, а тройкой с однозначно определяются координатные тройки а и b точек А и В, дающие в сумме с. Пропорциональные же системы базисных троек а, Ь и Ха, Х6, очевидно, определяют одну и ту же систему проективных координат на прямой. Пусть теперь на проективной плоскости произведено преобразование проективных координат. Точки Л, В и С получат какие-то новые координатные тройки, уже не пропорциональные прежним. Нам нужно показать, что проективные координаты на прямой от этого все же не изменятся. [26]
Пусть A S ( v) и B S ( v2) - системы троек Штейнера порядков Vi и v2 соответственно, и пусть ( at, a -, ak ] - произвольная тройка из А, a ( br, bs, Ъ - произвольная тройка из В. Тройка ( clr, сfs, cku) принадлежит системе С в том и только том случае, когда выполнено одно из следующих трех условий: 1) r s u и ( аь alt ak) - тройка из А; 2) i j k и ( br, bs, bu) - тройка из В; 3) ( ah a /, ak) - тройка из Л и ( br, bs, bu) - тройка из В. Легко убедиться, что С есть система троек Щтейнера. [27]
Пусть Д - штейнерова система троек, Ad и Д - ее подсистемы. Если ArfnA / A, то теорема верна. Итак, для произвольной пары элементов из 5 в Д существует тройка, включающая эту пару. Поэтому Д - штейнерова система троек, что требовалось доказать. [28]
Они должны были гулять ежедневно пятью группами по три в каждой группе. При этом необходимо было так составить расписание для их прогулок, чтобы каждая школьница в течение семи дней смогла точно один раз попасть в одну группу с каждой из остальных. Эта задача связана с задачей построения системы троек, поставленной Я. [29]