Cтраница 2
Если v имеет вид v Ы I или v 6t 3, то существует система троек Штейнера порядка и. Схемы, определяемые базовыми блоками (15.3.17) и (15.3.18) и найденные Бхаттачария [1], показывают, что и в этих случаях искомые системы существуют. [16]
Все тройки, образованные по этим трем правилам и взятые в совокупности, дают систему троек Штейнера S с v va - - v ( v2 - из) элементами. [17]
Тогда S имеет те же свойства, что S и S, и определяет систему троек Штейнера S на у и2 элементах. [18]
Уравновешенная неполная блок-схема с k 3, К 1, заданная на множестве из v элементов, называется системой троек Штейнера. Число v называется порядком системы троек Штейнера. [19]
Таким образом, если существует система троек Штейнера Si с vi элементами и другая система троек Штейнера 52 с vz элементами, то существует система троек Штейнера S SiXS2 с vivz элементами. Отметим, что в системах ( 23) и ( 24) подсистемы с фиксированным xi или xz соответствуют подсистемам системы S, изоморфным S2 и Si соответственно. [20]
Добавив тройки из б), получим систему троек Штейнера порядка 7; добавление троек а), в), г) не дает системы троек Штейнера, так как некоторые пары повторяются. [21]
Скажем, что система троек Штейнера порядка v содержит подсистему троек Штейнера порядка У У, если можно выделить такое у - подмножество у-множества, на котором определена конфигурация, что некоторая часть ее блоков образует систему троек Штейнера на этом у - подмножестве. [22]
Уравновешенная неполная блок-схема с k 3, К 1, заданная на множестве из v элементов, называется системой троек Штейнера. Число v называется порядком системы троек Штейнера. [23]
Если гс1, 3 ( mod6), то, как известно ( см. теорему 10.7), существует система троек Штейнера на множестве из п элементов. Она, очевидно, есть минимальная ( п, 3, 2) - покрывающая система, так как тогда каждая пара различных элементов содержится в точности в одной тройке. [24]
Однако и эти частные случаи весьма интересны, если учесть, что, например, классам 21 ( 3, ( у-1) / 2; у ( у-1) / 6, и) при у 1 3 ( mod6) принадлежат матрицы инцидентности систем троек Штейнера, а классам 91 ( 2, п; M, N) - матрицы инцидентности регулярных ( однородных) графов степени п - wa N вершинах. [25]
Интересным с точки зрения комбинаторики является класс тотальносимметрических квазигрупп ( TS-квазигрупп), который встретился нам в предыдущем пункте. Очевидно, что этот класс задается тождествами хуух, х-ху - у. Идемпотентная ( х2 х) Г5 - квазигруппа называется квазигруппой Штейнера. Квазигруппы Штейнера возникают в связи с так называемыми системами троек Штейнера, которые изучаются в комбинаторном анализе. Полагая а - Ь с, если ( а, Ь, с) б5, и а2 а, получим квазигруппу Штейнера; обратно, любая квазигруппа Штейнера Q ( -) определяет систему троек Штейнера S на Q. Любая дистрибутивная квазигруппа является расширением нормальной подквазигруппы Штейнера посредством медиальной квазигруппы. [26]
Интересным с точки зрения комбинаторики является класс тотальносимметрических квазигрупп ( TS-квазигрупп), который встретился нам в предыдущем пункте. Очевидно, что этот класс задается тождествами хуух, х-ху - у. Идемпотентная ( х2 х) Г5 - квазигруппа называется квазигруппой Штейнера. Квазигруппы Штейнера возникают в связи с так называемыми системами троек Штейнера, которые изучаются в комбинаторном анализе. Полагая а - Ь с, если ( а, Ь, с) б5, и а2 а, получим квазигруппу Штейнера; обратно, любая квазигруппа Штейнера Q ( -) определяет систему троек Штейнера S на Q. Любая дистрибутивная квазигруппа является расширением нормальной подквазигруппы Штейнера посредством медиальной квазигруппы. [27]
Они должны были гулять ежедневно пятью группами по три в каждой группе. При этом необходимо было так составить расписание для их прогулок, чтобы каждая школьница в течение семи дней смогла точно один раз попасть в одну группу с каждой из остальных. Эта задача связана с задачей построения системы троек, поставленной Я. Для у15 число различных систем троек Штейнера пока ( 1978) неизвестно. При у3 система троек Штейнера является частным случаем неполной частично уравновешенной блок-схемы. [28]