Cтраница 1
Система действительных чисел с ее неудачным названием столь прочно утвердилась в фундаменте математического анализа, что легко позабыть, что все действительные числа невозможно представить в действительном мире конечных вычислительных машин. Однако, как бы ни упрощала анализ система действительных чисел, практические вычисления вынуждены обходиться без нее. [1]
Система действительных чисел выбрана в физике в силу ее математической полезности, простоты и изящества, а также поскольку она согласуется на очень широком интервале масштабов с физическими понятиями пространства и времени. Она выбрана не потому, что мы будто бы знаем, что она согласуется с упомянутыми физическими величинами на всех масштабах. Такое согласие вполне может не иметь места на очень малых пространственных и временных масштабах. Обычные расстояния измеряются при помощи линейки, но линейка оказывается зернистой при переходе к масштабам образующих ее атомов. Само по себе это не мешает нам продолжать использовать действительные числа подходящим образом, но измерение меньших расстояний требует уже гораздо большей изобретательности. По крайней мере, мы должны быть готовы предположить, что на очень-очень малых масштабах могут встречаться принципиальные трудности с расстояниями. Как оказывается, природа оказалась к нам на удивление благосклонна, сделав те самые действительные числа, которые мы привыкли повседневно применять для описания предметов на макро-масштабах, пригодными для описания расстояний гораздо меньших атомных - по крайней мере, на масштабах, равных одной сотой классического диаметра элементарной частицы - такой, как электрон или протон, - и, по-видимому, вплоть до масштабов квантовой теории гравитации, что на двадцать порядков меньше размеров таких частиц. [2]
Такая система действительных чисел называется расширенной. [3]
Аналогичный характер имеет пополнение системы действительных чисел двумя несобственными числами - - оо и - оо, соответствующее многим запросам анализа и теории функций действительного переменного. Бесконечно малые и бесконечно большие, лежащие в основе определения производной ( как отношения бесконечно малых) и интеграла ( как суммы бесконечно большого числа бесконечно малых) и примыкающих сюда концепций математич. [4]
На множестве F, являющемся моделью системы действительных чисел, определены арифметические операции в соответствии с тем, как они выполняются цифровой вычислительной машиной. Предположим, что хну - числа с плавающей точкой. [5]
При изучении действительных функций действительного переменного систему действительных чисел дополняют двумя несобственными элементами оо и - оо. [6]
Разрешимость задачи точного измерения отрезков в системе действительных чисел вытекает из следующего основного свойства множества всех действительных чисел: между множеством R всех действительных чисел и множеством всех точек координатной прямой существует взаимно однозначное соответствие. В силу указанного взаимно однозначного соответствия действительные числа отождествляются с соответствующими точками координатной прямой. [7]
Наиболее изученным непрерывным образованием в математике является система действительных чисел, или число в. [8]
Покажем, что система комплексных чисел является расширением системы действительных чисел. [9]
Числа с плавающей точкой можно использовать для моделирования системы действительных чисел в математике, хотя здесь есть несколько существенных различий. [10]
Действительно, на Эйлер, ни Коши никогда не характеризовали системы действительных чисел формально ( как единственное полное упорядоченное поле); не знали они и того, что она несчетна. [11]
Несмотря на это, я хочу сказать, что существование поля действительных чисел можно доказать в школе путем задания системы действительных чисел ( хотя, разумеется, не для 12-летних), если удовольствоваться схемой определений операций, как это сделано выше, и не проводить слишком детальную проверку законов действий. Это подходит также для использования ЭВМ. [12]
Гиперкомплексные числа определялись как величины, для задания которых необходимо несколько действительных чисел, причем для определенности гиперкомплексные числа рассматривались просто как системы действительных чисел. Однако такая точка зрения слишком узка, и для теоретических исследований постепенно стали применять следующее более общее определение. [13]
Таким образом, множество точек, лежащих на оси абсцисс, рассматриваемое как часть системы комплексных чисел, по своим алгебраическим свойствам ничем не отличается от системы действительных чисел, обычным способом изображенной точками прямой, линии. [14]
В этой связи для фигурирующих в ( 1 1.2) ЯЕ и jRjy справедливо RN:: RE, а само отображение сводится к формированию отношения элементов Е к е1 - единичному элементу в системе действительных чисел. [15]