Cтраница 3
Конечно, в изложенную выше схему далеко не укладывается все многообразное содержание алгебраической науки. Существует, в частности, ряд отделов алгебры, пограничных с другими разделами математики. Такова топологическая алгебра, изучающая алгебраические системы, в которых операции непрерывны относительно некоторой сходимости, определенной для элементов этих систем; примером служит система действительных чисел. К топологической алгебре близка теория непрерывных ( или лиевых) групп, имеющая многочисленные приложения в различных вопросах геометрии, в теоретической физике, в гидродинамике. Впрочем, теория лиевых групп отличается таким переплетением алгебраических, топологических, геометрических и теоретико-функциональных методов, что было бы правильным считать ее особой ветвью математики. Существует, далее, теория упорядоченных алгебраических систем, возникшая в связи с исследованиями по основаниям геометрии и нашедшая приложения в функциональном анализе. Начинает развиваться, наконец, дифференциальная алгебра, устанавливающая новые связи между алгеброй и теорией дифференциальных уравнений. [31]
Рассмотрим класс объектов, являющихся функциями точки. Говорят, что для этого класса или для множества классов задана система отсчета ( координатная система), если каждому объекту по некоторому правилу соответствует ( взаимно однозначно система действительных чисел - компонент ( координат) объекта. [32]
Оба образа мысли ныне накладывают свой отпечаток на значительную часть математики. Центральное понятие действительного числа позволяет сразу объяснить, чем это вызвано. Система действительных чисел подобна двуликому Янусу: с одной стороны - это совокупность das Feld) алгебраических операций и - и им обратных, с другой - континуальное многообразие, части которого связаны друг с другом непрерывно. Первый лик чисел алгебраический, второй топологический. Современная аксиоматика, при всей своей простоте, не терпит ( в отличие от новейшей политики) подобного двусмысленного смешения войны и мира; она тщательно отделяет одну сторону от другой. Наконец, количественный характер Grb ssen-charakter) чисел, выражающийся в отношениях и, занимает некое промежуточное положение между алгеброй и топологией. [33]
Если отвлечься от понятия вычислимости, то действительные числа называются действительными, потому что они, как представляется, дают величины, необходимые для измерения расстояний, углов, времени, энергии, температуры и многих других геометрических и физических параметров. Однако связь абстрактно определенных действительных чисел с физическими величинами не так проста, как может показаться. Действительные числа следует рассматривать скорее как некоторую математическую идеализацию, чем как реальную меру физически объективных величин. Система действительных чисел обладает, например, таким свойством, что между любыми двумя действительными числами ( вне зависимости от их близости) существует третье действительное число. При этом совершенно не ясно, можно ли обоснованно утверждать то же самое о физических расстояниях или промежутках времени. Если мы продол -, жим дробить физическое расстояние между двумя точками, то мы в конце концов достигнем масштабов столь малых, что само понятие расстояния в обычном его смысле станет бессмысленным. Предполагается, что это действительно имеет место на масштабах, характерных для квантовой теории гравитации, которые в 1020 раз2) меньше размеров субатомных частиц. Но чтобы отобразить действительные числа нам потребуется дойти до сколь угодно более мелких масштабов, которые, например, в 10200, Ю2000 или даже в Ю10 раз меньше размеров частиц. И совершенно не ясно, есть ли какой бы то ни было физический смысл у столь абсурдно малых масштабов. [34]
Существенный шаг, который мы теперь делаем, состоит в том, что мы оставляем мысль получить объективное определение иррациональных чисел. Мы не говорим, что иррациональное число есть такой-то и такой-то математический объект; вместо этого мы довольствуемся тем процессом приближения, который дается гнездом интервалов, и рассматриваем каждый такой процесс как определяющий действительное число. Если существует рациональное число а, содержащееся во всех интервалах [ а, Ьп ], то действительное число, определяемое гнездом [ ап, Ьп ], считается тождественным с числом а. Это определение включает рациональные числа в систему действительных чисел. [35]
Наоборот, если применить это алгебраическое выражение для определения геометрических терминов, то каждое абстрактное поле приводит к соответствующей проективной плоскости, удовлетворяющей аксиоме инцидентности. Из аксиом инцидентности нельзя извлечь каких-либо ограничений на числовое поле, соответствующее проективной плоскости. Здесь в грандиозной форме проявляется предустановленная гармония между геометрией и алгеброй. Лишь аксиомы совершенно иного рода - аксиомы порядка и непрерывности - приводят к такой конкретизации, что геометрическая система чисел, соответствующая проективной плоскости, может быть отождествлена с континуумом обычных действительных чисел. Тем самым мы как бы обращаем подход, который в течение столетий господствовал над нашей математической наукой, зародившись, по-видимому в Индии и благодаря арабам проникнув на Запад. А именно, если раньше понятие числа предпосылалось геометрии как логически предшествующее, и мы поэтому, располагая систематически разработанным универсальным понятием числа, не зависящим от применений, могли подходить с ним к величинам самого различного рода, то теперь мы возвращаемся к точке зрения древних греков, согласно которой каждая область вещей влечет свою, на собственной основе определяемую числовую систему. И это происходит не только в геометрии, но и в новой, квантовой физике: физические величины, относящиеся к некоторой данной физической структуре сами по себе ( а не те числовые значения, которые они могут принимать при различных ее состояниях), допускают, согласно квантовой физике, сложение и некоммутативное умножение, тем самым образуя некоторый мир алгебраических величин, соответствующий этой структуре, мир, который нельзя рассматривать как фрагмент системы действительных чисел. [36]
Система действительных чисел выбрана в физике в силу ее математической полезности, простоты и изящества, а также поскольку она согласуется на очень широком интервале масштабов с физическими понятиями пространства и времени. Она выбрана не потому, что мы будто бы знаем, что она согласуется с упомянутыми физическими величинами на всех масштабах. Такое согласие вполне может не иметь места на очень малых пространственных и временных масштабах. Обычные расстояния измеряются при помощи линейки, но линейка оказывается зернистой при переходе к масштабам образующих ее атомов. Само по себе это не мешает нам продолжать использовать действительные числа подходящим образом, но измерение меньших расстояний требует уже гораздо большей изобретательности. По крайней мере, мы должны быть готовы предположить, что на очень-очень малых масштабах могут встречаться принципиальные трудности с расстояниями. Как оказывается, природа оказалась к нам на удивление благосклонна, сделав те самые действительные числа, которые мы привыкли повседневно применять для описания предметов на макро-масштабах, пригодными для описания расстояний гораздо меньших атомных - по крайней мере, на масштабах, равных одной сотой классического диаметра элементарной частицы - такой, как электрон или протон, - и, по-видимому, вплоть до масштабов квантовой теории гравитации, что на двадцать порядков меньше размеров таких частиц. Сфера применимости привычного понятия расстояния, измеряемого действительными числами, по-видимому, простирается до самых далеких квазаров и еще дальше. Общий диапазон измеримых расстояний составляет 1042, а может быть, 1060 или даже больше. Кстати, сомнения в правомерности использования системы действительных чисел высказывались не так уж часто. Почему же мы так уверены в том, что эти числа дают точное описание физических явлений, хотя реально об их применимости мы знаем лишь в весьма ограниченном диапазоне масштабов. [37]