Cтраница 2
Римская система счисления, распространенная в средние века в Европе, оказалась неудобной для арифметических операций и канула в лету. Мы стали проводить необходимые вычисления быстро и легко, полностью забыв об искусстве счета в римской системе счисления. Так надо ли жалеть о том, что рутинное искусство интегрирования также уходит в прошлое. Не лучше ли направить свои знания, навыки, смекалку и выдумку на задачи, которые еще ждут своего решения. [16]
Системы счисления подразделяются на позиционные и непозиционные. К позиционной относится наша десятичная система с основанием 10 и другие системы, применяемые в ЭВМ; к непозиционным относится римская система счисления. [17]
Непозиционной называется такая система счисления, у которой количественное содержание цифры определяется только ее графическим обозначением. Такой системы придерживались в Древней Греции, на Руси, в Римском государстве, но до нашего времени сохранилась и в какой-то мере используется только одна из них - римская система счисления. В ней для обозначения ряда целых чисел используются значки определенного вида, а все другие целые числа по известным правилам записываются с их помощью. Цифры обозначаются так: I - один, V - пять, X - десять, L - пятьдесят, С - сто, Д - пятьсот, М - тысяча. [18]
Различают два основных вида систем счисления: непозиционные и позиционные. Непозиционные системы счисления характеризуются тем, что значение числа, выражаемое совокупностью цифр, определяется только конфигурацией цифровых символов. Классическим примером непозиционной системы является римская система счисления. Наибольшее распространение получили позиционные системы счисления, в которых значение любой цифры определяется не только конфигурацией ее символа, но и местоположением ( позицией), которое она занимает в числе. При этом под основанием позиционной системы счисления q понимается количество различных цифр, используемых для представления числа. [19]
Примером непозиционной системы счисления, дошедшей до наших дней, служит римская система счисления. [20]
Фибоначчи был подвигнут к написанию Liber Abaci во время визита в Багио, процветающий алжирский город, где его отец пребывал в качестве пизанского консула. Ознакомившись со всеми вычислениями, выполняемыми в рамках этой системы, которые даже не снились математикам, использовавшим римскую систему счисления, он постарался изучить ее как можно более досконально. Чтобы поучиться у арабских математиков, живших по берегам Средиземного моря, он предпринял путешествие в Египет, Сирию, Грецию, Сицилию и Прованс. [21]
Вначале появились непозиционные системы счисления, в которых каждое число обозначается соответствующим знаком и количественный эквивалент цифры не зависит от ее месторасположения в записи числа. Примером непозиционной системы счисления служит римская система счисления. [22]
Совокупность приемов наименования и записи чисел называется счислением. Системы счисления бывают позиционные и непозиционные. Непозиционной называется тякяя система, у которой количественное значение ЩТфры зависит только от ее начертания. Примером этой системы может служить широко известная римская система счисления. [23]
В позиционных системах счисления значение каждой цифры зависит от ее места ( позиции) в последовательности цифр, изображающей число. Например, в числе 1981 первая цифра слева означает количество тысяч; вторая - количество сотен; третья - количество десятков, четвертая - количество единиц. Другие системы называются непозиционными. К ним относится, например, хорошо известная римская система счисления. [24]
В непозиционной системе счисления каждая цифра, где бы она ни располагалась, означает одно и то же число. Примером непозиционной системы счисления может служить так называемая римская нумерация, в которой f оль цифр играют буквы латинского алфавита. Так, буква / всегда означает единицу, буква V - пять, буква X - десять. В ч исле XXX, записанном в римской системе счисления, цифра X в любом месте означает десять. Одним из основных недостатков непозиционных систем счисления является трудность записи больших чисел и выполнения арифметических операций с ними. [25]
Непозиционная система счисления - система, в которой значение символа не зависит от его положения в числе. Примером непозиционной системы счисления, дошедшей до наших дней, служит римская система счисления. [26]
В любой системе счисления для представления чисел выбираются некоторые символы ( слова или знаки), называемые базисными числами, а все остальные числа получаются в результате каких-либо операций из базисных чисел данной системы исчисления. Символы, используемые для записи чисел, могут быть любыми, только они должны быть разными и значение каждого из них должно быть известно. В современном мире наиболее распространенным является представление чисел посредством арабских цифр 0, 1 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 - специальных знаков, используемых для записи чисел. Системы счисления различаются выбором базисных чисел и правилами образования из них остальных чисел. Например, в римской системе счисления базисными являются числа 1, 5, 10, 50, 100, 500, 1000, которые обозначаются знаками I, V, X, L, С, D, М, а другие получаются путем сложения и вычитания базисных: если цифра справа меньше или равна цифре слева, то эти цифры складываются; если цифра слева меньше, чем цифра справа, то левая цифра вычитается из правой. Так, например, число 146 в римской системе счисления имеет вид CXLVI ( С-100, XL-40, VI-6), здесь сорок получается посредством вычитания из пятидесяти числа десять, шесть - посредством сложения пяти и единицы. Системы счисления, в которых любое число получается путем сложения или вычитания базисных чисел, называются аддитивными. При таком представлении чисел правила сложения для небольших чисел очевидны и просты, однако если возникает необходимость выполнять операции сложения над большими числами или операции умножения и деления, то римская система счисления оказывается неудобной. В этой ситуации преимущественнее оказываются позиционные системы счисления. Хотя в них, как правило, представления чисел далеко не так просты и очевидны, как в римской системе счисления, систематичность представления, основанная на позиционном весе цифр, обеспечивает простоту выполнения операций умножения и деления. [27]
Различаются непозиционные и позиционные системы счисления. В непозиционных системах счисления значение каждого знака не имеет четкой прямой зависимости от его положения в числе. Числа обозначаются стилизованными значками или прямолинейными отрезками. Например, в римской системе счисления запись чисел ведется с помощью букв латинского алфавита. [28]
Под системой счисления понимается совокупность различных приемов обозначения чисел. Если при записи числа одна и та же цифра имеет различное значение, определяемое позицией, в которой она находится, то такая система счисления называется позиционной. От одной позиции к другой значения цифр в позиционной системе меняются по определенному закону. Существуют также непозиционные системы счисления, которые сейчас практически не применяются. Примером такой системы может служить римская система счисления. Запись чисел в ней является очень громоздкой, а проведение арифметических операций весьма сложным. Для вычислительной техники представляют интерес только позиционные системы счисления. [29]
В любой системе счисления для представления чисел выбираются некоторые символы ( слова или знаки), называемые базисными числами, а все остальные числа получаются в результате каких-либо операций из базисных чисел данной системы исчисления. Символы, используемые для записи чисел, могут быть любыми, только они должны быть разными и значение каждого из них должно быть известно. В современном мире наиболее распространенным является представление чисел посредством арабских цифр 0, 1 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 - специальных знаков, используемых для записи чисел. Системы счисления различаются выбором базисных чисел и правилами образования из них остальных чисел. Например, в римской системе счисления базисными являются числа 1, 5, 10, 50, 100, 500, 1000, которые обозначаются знаками I, V, X, L, С, D, М, а другие получаются путем сложения и вычитания базисных: если цифра справа меньше или равна цифре слева, то эти цифры складываются; если цифра слева меньше, чем цифра справа, то левая цифра вычитается из правой. Так, например, число 146 в римской системе счисления имеет вид CXLVI ( С-100, XL-40, VI-6), здесь сорок получается посредством вычитания из пятидесяти числа десять, шесть - посредством сложения пяти и единицы. Системы счисления, в которых любое число получается путем сложения или вычитания базисных чисел, называются аддитивными. При таком представлении чисел правила сложения для небольших чисел очевидны и просты, однако если возникает необходимость выполнять операции сложения над большими числами или операции умножения и деления, то римская система счисления оказывается неудобной. В этой ситуации преимущественнее оказываются позиционные системы счисления. Хотя в них, как правило, представления чисел далеко не так просты и очевидны, как в римской системе счисления, систематичность представления, основанная на позиционном весе цифр, обеспечивает простоту выполнения операций умножения и деления. [30]