Cтраница 3
Действительно, известная теория Рауса [1-15] дает не только условия устойчивости стационарных движений консервативных механических систем с первыми интегралами, но и метод определения таких движений. [31]
Один из примеров дальнейшего использования построенной системы дифференциальных уравнений - это выделение простейших движений Для консервативных механических систем реализовано получения интеграла энергии и циклических интегралов Если система дифференциальных уравнений допускает m 1 первых интегралов V, то стационарным движениям по Раусу отвечают значения координат которые доставляют экстремум некоторой функции К, являющейся линейной связкой этих интегралов Проведено исследование для двух типов первых интегралов - циклических и квадратичных по фазовым переменным. [32]
Если система консервативна, то 7 То 0 и обобщенный интеграл энергии совпадает с полной энергией TI П const и выражает тем самым закон сохранения полной энергии в консервативных механических системах. [33]
Уравнения Лотки - Вольтерры имеют один недостаток, отмеченный Николисом и Пригожином [100] и Мэем [261], который заключается в том, что они имеют такую же структурную неустойчивость как консервативная механическая система без затухания, фазовые траектории которой можно топологически изменить путем введения бесконечно малого вязкого трения. [34]
Уравнения Лотки - Вольтерры имеют один недостаток, отмеченный Николисом и Пригожином [100] и Маем 1264 ], который заключается в том, что они имеют такую же структурную неустойчивость, как консервативная механическая система без затухания, фазовые траектории которой можно топологически изменить путем введения бесконечно малого вязкого трения. [35]
В механике рассматриваются системы со сравнительно небольшим числом степеней свободы и практически с одним способом обмена энергией - путем совершения работы. Равновесному состоянию консервативной механической системы соответствует экстремум ( устойчивому равновесию - минимум) потенциальной энергии. [36]
Весьма важную проблему механики составляет изучение устойчивости движения, и в частности устойчивости равновесия. Наличие устойчивых положений равновесия консервативной механической системы в случае минимума потенциальной энергии системы было известно еще Л агранжу. [37]
Весьма важную проблему механики составляет изучение устойчивости движения, и в частности устойчивости равновесия. Наличие устойчивости положений равновесия консервативной механической системы в случае минимума потенциальной энергии системы было известно еще Лагранжу. [38]
Задача заключается в нахождении положений равновесия консервативной механической системы с конечным числом степеней свободы, которая определяется заданием общей потенциальной энергии системБгУ ( ( &, Л), и в исследовании устойчивости этих положений равновесия. В работе [36] был развит метод возмущений для изучения нелинейного поведения системы в окрестности любой точки ветвления. [39]
Существует принцип, согласно которому движение консервативной механической системы осуществляется так, чтобы в каждый данный момент ее полная потенциальная энергия была возможно меньшей. Скажем, в примере, которым начиналась глава, шарик скатывается по желобку на сферической поверхности, если такой желобок есть. [40]
Задача заключается в нахождении положений равновесия консервативной механической системы с конечным числом степеней свободы, которая определяется заданием общей потенциальной энергии системы V ( Qt, Л), и в исследовании устойчивости этих положений равновесия. В работе [36] был развит метод возмущений для изучения нелинейного поведения системы в окрестности любой точки ветвления. [41]
Наиболее трудным является построение функций Ляпунова для консервативных механических систем. Еще в своем знаменитом сочинении А. М. Ляпунов отмечал, что для подобных систем задача делается... Как известно, эти теоремы использовал А. [42]
Эта глава посвящена вопросам устойчивости равновесия механических систем, или, другими словами, устойчивости критических точек дифференциальных уравнений, имеющих лагранжеву или гамильтонову форму, с учетом или без учета сил трения. Грубо говоря, она утверждает, что равновесие консервативной механической системы устойчиво в каждой точке, где потенциальная функция имеет строгий минимум. Сам Лагранж ( так же как и Пуассон [1838]) дал доказательство лишь для случая, когда потенциальная функция представляет собой квадратичную форму. Лежен-Дирихле [1846] предложил изящное общее доказательство, идея которого является основой всего прямого метода Ляпунова. [43]
Общим методом исследования устойчивости является изучение возмущенного движения в окрестности невозмущенного. Этот метод ( динамический критерий устойчивости) для консервативных механических систем был впервые применен Лагран-жем. [44]
В аналитической динамике имеется теорема об устойчивости положения равновесия системы, носящая название теоремы Лагранжа - Дирихле. Она формулируется так: для устойчивости положения равновесия консервативной механической системы достаточно, чтобы потенциальная энергия системы в этом положении имела изолированный относительный минимум. [45]