Cтраница 1
Гиперкомплексные системы и, в частности, кватернионы хорошо известны алгебраистам. [1]
Гиперкомплексная система ранга п получается введением умножения в и-мерном действительном пространстве R, удовлетворяющего аксиомам алгебры над полем. [2]
Мы определили гиперкомплексную систему, соответствующую нашей G; каждой перестановке Si из этой группы мы сопоставим базисную единицу ei и если верно уравнение ( 1): S Sj - Sk, то мы договариваемся, что произведение e j равно ek - Это правило допустимо, т.к. операция ассоциативна. [3]
Из двух терминов гиперкомплексная система и алгебра в последние годы отдается предпочтение второму, так как элементы столь общих гиперкомплексных систем по своим свойствам могут настолько сильно отличаться от обычных чисел, что называть их гиперкомплексными числами нецелесообразно. Термины гиперкомплексные системы, гиперкомплексные числа применяются теперь лишь к простейшим алгебрам, например к системе обыкновенных кватернионов. [4]
Вообще, когда строится гиперкомплексная система, обладающая структурой кольца, между базисными элементами векторного пространства определяется структура алгебры. [5]
После 1870 начинается общее исследование гиперкомплексных систем. De-dekirid) встречается общее понятие ( ассоциативного) кольца, тела и алгебры над полем ( гиперкомплексной системы), хотя кольцо у него называлось не кольцом, а порядком. Дедекинд доказали, что любая конечномерная ассоциативно-коммутативная алгебра без нильпотент-ных элементов над полем действительных чисел является прямой суммой полей, изоморфных либо нолю R действительных чисел, либо полю С комплексных чисел. [6]
Под именем алгебры, или гиперкомплексной системы, над полем А понимают обычно алгебраическое кольцо, являющееся в то же время правым или левым А-модулем. А элементов, через которые все остальные элементы 3t выражаются линейно с коэффициентами из А. Алгебра называется конечной, если обладает конечным базисом. Вместе с базисом часто приходится рассматривать образующие элементы алгебры. Все элементы алгебры могут быть выражены в виде некоммутативных полиномов от образующих. [7]
Дойринга я обязан более целенаправленным определением понятия гиперкомплексная система и расширением теории Галуа полей деления круга настолько, насколько этого требует ее приложение к теории циклических полей. [8]
Cartan) были получены наиболее значительные результаты по теории гиперкомплексных систем. К этому времени уже была достаточно развита теория гомоморфизмов, выяснена связь их с идеалами, появилось понятие прямой суммы алгебр. [9]
Поэтому совокупность всевозможных линейных комбинаций разностей At - Е образует матричную гиперкомплексную систему. Эта система распадается на абсолютно неприводимые части, и среди них нулевых частей нет. Следовательно, рассматриваемая система содержит неособенные матрицы. [10]
В современной математике вместо архаичного термина высшая комплексная система ( или гиперкомплексная система) принят другой термин: конечномерная алгебра над полем действительных чисел. Если уравнения ха Ь, ау Ь разрешимы в рассматриваемой алгебре для любых а ф 0 в Ь, то она называется алгеброй с делением. Фробениуса ( доказанная им в 1877 г.) утверждает, что существуют только две конечномерные алгебры над полем действительных чисел, в которых умножение коммутативно, ассоциативно и нет делителей нуля, - это само поле действительных чисел и поле комплексных чисел. Далее, вторая часть теоремы Фробениуса утверждает, что если отказаться от коммутативности, но все же предполагать умножение ассоциативным, то существует еще одна единственная конечномерная алгебра над полем действительных чисел - это кватернионы, к описанию которых переходит Клейн. Наконец, отказ от ассоциативности дает еще одну алгебру с восемью единицами ( одна действительная и семь мнимых), которая была открыта английским математиком Кэли. Алгебра Кэли является альтернативной, т.е. подалгебра, порожденная любыми двумя ее элементами, является ассоциативной. В настоящее время известно, что, кроме указанных четырех алгебр, других альтернативных алгебр над полем действительных чисел не существует. [11]
Метод был предложен в 1887 г. Пеано), причем последний использовал для доказательства гиперкомплексную систему с т единицами или, что тоже самое, матричное исчисление. В 1903 г. Бекер 2), независимо от Пеано, вновь нашел и развил способ Пеано, выведя из него так называемый метод интегрирования Пеано-Бекера, к изложению которого мы и переходим. [12]
Из двух терминов гиперкомплексная система и алгебра в последние годы отдается предпочтение второму, так как элементы столь общих гиперкомплексных систем по своим свойствам могут настолько сильно отличаться от обычных чисел, что называть их гиперкомплексными числами нецелесообразно. Термины гиперкомплексные системы, гиперкомплексные числа применяются теперь лишь к простейшим алгебрам, например к системе обыкновенных кватернионов. [13]
Из двух терминов гиперкомплексная система и алгебра в последние годы отдается предпочтение второму, так как элементы столь общих гиперкомплексных систем по своим свойствам могут настолько сильно отличаться от обычных чисел, что называть их гиперкомплексными числами нецелесообразно. Термины гиперкомплексные системы, гиперкомплексные числа применяются теперь лишь к простейшим алгебрам, например к системе обыкновенных кватернионов. [14]
После 1870 начинается общее исследование гиперкомплексных систем. De-dekirid) встречается общее понятие ( ассоциативного) кольца, тела и алгебры над полем ( гиперкомплексной системы), хотя кольцо у него называлось не кольцом, а порядком. Дедекинд доказали, что любая конечномерная ассоциативно-коммутативная алгебра без нильпотент-ных элементов над полем действительных чисел является прямой суммой полей, изоморфных либо нолю R действительных чисел, либо полю С комплексных чисел. [15]